¿Cómo puedo dar una prueba formal de que $e^x$ no es algebraico, como por ejemplo $$\sum_{n\geq0}\frac{x^n}{n!}\notin\mathbb{C}_{\mathrm{alg}}[[x]]$$ Se agradece la ayuda.
Respuesta
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La notación $\mathbb C_{\mathrm{alg}}[[x]]$ es poco ortodoxo, pero supongo que lo que se quiere decir es el cierre algebraico de $\mathbb C(x)$ en $\mathbb C((x)).$
Una forma es pensar en la tasa de crecimiento en el infinito. Supongamos que $e^{nx} + p_{n-1}(x) e^{(n-1)x} + \cdots + p_1(x) e^x + p_0(x) = 0$ para algunas funciones racionales $p_i$ . Ahora divide por $e^{nx}$ , para conseguir $1 + p_{n-1}(x) e^{-x} + \cdots + p_1(x)e^{-(n-1) x} + p_0(x) e^{-n x} = 0.$ Tomando el límite como $x \to \infty$ utilizando el hecho de que el decaimiento exponencial supera el crecimiento de cualquier función racional, obtenemos que $ 1 = 0$ una contradicción.
(Esto está relacionado con el hecho de que $e^x$ , pensada como una función compleja, tiene una singularidad esencial en el infinito, a diferencia de las funciones algebraicas).
