Integral de la $\int_0^\infty \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm dx$

Question

Tengo el siguiente integral a resolver:

$$\int_0^\infty \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm dx$$

Traté de sustitución de $u= x+1$$u=\sqrt[3]{x+1}$, a continuación, integración parcial, pero que en realidad no ayuda porque no se ha vuelto más simple.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia. Si conoce la integral de Euler (función beta) $$ \int_{0}^{1}u^{−1}(1−u)^{b−1}dx=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} \tag1 $$ usted puede realizar un cambio de variable $\displaystyle u=\frac{1}{1+x}\,$, $\displaystyle x=\frac{1}{u}-1$, en su inicial integral para obtener $$ \begin{align} \int_0^\infty \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm dx &=\int_0^1 \frac{(1/u)^{\frac13}-(1/u-1)^{\frac13}}{(1/u-1)^{\frac12}} \frac{1}{u^2} \mathrm du\\\\ &=\int_0^1 \frac{1-(1-u)^{\frac13}}{(1-u)^{\frac12}} u^{-11/6} \mathrm du. \end{align} $$ Ahora, observa que el uso de $(1)$ somos, para $s>0$, $$ \begin{align} \int_0^1 \frac{1-(1-u)^{\frac13}}{(1-u)^{\frac12}} u^{s} \mathrm du&=\frac{\Gamma(1/2)\:\Gamma(1+s)}{\Gamma(3/2+s)}-\frac{\Gamma(5/6)\:\Gamma(1+s)}{\Gamma(11/6+s)} \end{align} \tag2 $$ y desde ambos lados de $(2)$ son analíticas para $\Re s>-2$ (el singulariy de el integrando en $u=0^+$ es integrable tan pronto como $\Re s>-2$), a continuación, la identidad puede ser extendido para este caso permite escribir $$ \begin{align} \int_0^1 \frac{1-(1-u)^{\frac13}}{(1-u)^{\frac12}} u^{-11/6} \mathrm du &=\lim_{s \to -11/6}\left(\frac{\Gamma(1/2)\:\Gamma(1+s)}{\Gamma(3/2+s)}-\frac{\Gamma(5/6)\:\Gamma(1+s)}{\Gamma(11/6+s)}\right)\\\\ &=\lim_{s \to -11/6}\Gamma(1+s)\left(\frac{\sqrt{\pi}\:}{\Gamma(3/2+s)}-\frac{\Gamma(5/6)\:(11/6+s)}{\Gamma(17/6+s)}\right)\\\\ &=\frac{2\sqrt{\pi}\:\Gamma(1/6)}{5\Gamma(2/3)}, \end{align} $$ con algo de álgebra, en consecuencia,

$$ \int_0^\infty \frac{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} \, \mathrm dx =\frac{2\sqrt{\pi}\:\Gamma(1/6)}{5\Gamma(2/3)}. $$