¿Cuál es la diferencia entre el$\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$?

Question

Lo siento preguntar esto, sé que no es realmente una pregunta de matemáticas, pero una definición de la pregunta, pero buscando en Google no ayuda. Cuando se le preguntó que mostrar que los elementos de cada uno son irreductibles, es el mismo?

Answer 1

Aquí está la definición general de las dos notaciones: dado un campo de $K$, un campo de $L$ que contiene $K$, y un elemento $a\in L$, luego $$K[a]=\{f(a)\mid f\in K[x]\}=\{c_0+c_1a+\cdots+c_na^n\mid c_i\in K, n\geq0\}$$ y $$K(a)=\left\{\tfrac{f(a)}{g(a)}\;\middle\vert\; f,g\in K[x]\text{ where }g(a)\neq 0\right\}=\text{the field of fractions of }K[a].$$ Una alternativa caracterización es que $K[a]$ es el más pequeño de sub$\!$*anillo* de $L$ que contiene el elemento $a$ así como todos los de $K$, $K(a)$ es el más pequeño de tales sub$\!$*de campo*.

Es un sencillo teorema que $K[a]=K(a)$ si y sólo si $a$ es algebraico sobre $K$, lo que significa que hay algunas que no sea cero el polinomio $f\in K[x]$ tal que $f(a)=0$. Debido a $\sqrt{-d}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ - es una raíz del polinomio $x^2+d=0$, en $\mathbb{Q}[x]$ - por lo tanto, tenemos que $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})=\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$.

En contraste, $\pi$ es trascendental $\mathbb{Q}$, e $\mathbb{Q}(\pi)$ contiene elementos como $\frac{1}{\pi}$$\frac{3}{\pi^2 + 1}$, mientras que $\mathbb{Q}[\pi]$ no.

Answer 2

La notación $\rm\:R[\alpha]\:$ denota un anillo de contigüidad, y, análogamente, $\rm\:F(\alpha)\:$ denota un campo de contigüidad. Generalmente si $\alpha$ es una raíz de un monic $\rm\:f(x)\:$ sobre un dominio $\rm\:D\:$ $\rm\:D[\alpha]\:$ es un campo iff $\rm\:D\:$ es un campo. Lo mismo es cierto para arbitrario integral de las extensiones de dominios de. Ver este post para un detallado tratamiento de la cuadrática caso.

Answer 3

En general, si tiene una extensión de campo $L/K$, e $\alpha\in L$, definimos $K[\alpha]$ a ser el sub-anillo de $L$ generado por $K$$\alpha$, mientras que definimos $K(\alpha)$ a ser el subcampo de $L$ generado por $K$$\alpha$. Ahora, a veces sucede que $K[\alpha]$ es ya un campo, en cuyo caso tenemos $K[\alpha]=K(\alpha)$. Esto es lo que sucede con $\mathbb{Q}[\sqrt{-d}]$$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$.