Multiplicativa de la estructura sin únicos primer factorización

Question

El subconjunto $N:=\{3n+1\colon n\in\mathbb{N}\}$ es cerrado bajo la multiplicación. 4, 10 y 25 son números primos en $N$. Tenemos $100=4\cdot 25=10\cdot 10$, por lo tanto factorización con los números primos en $N$ no es única.

Hay un subconjunto $M$ $\mathbb{N}$ que es cerrado bajo la multiplicación de tal forma que hay un número $n\in M$ $n=\prod_{i=1}^jp_i=\prod_{i=1}^kq_i$ donde $j<k$ e las $p_i$'s y $q_i$'s son números primos en $M$?

Si no hay tal subconjunto en $\mathbb{N}$, hay otro ejemplo en el que el número de elementos principales en una factorización no es única?

Answer 1

Tome $M = \{5n+1 : n \in \mathbb{N}\}$. A continuación, el número de $12996$ tiene dos prime factorizations, uno en $2$ y uno en $3$ primos: $$ 12996 = 76 \times 171 = 6 \times 6 \times 361.$$