corte de la torta de rompecabezas: ¿por qué un número finito de recortes suficiente?

Question

Rompecabezas de http://www2.maths.bris.ac.uk/~majwm/compendium/cakeslice.php

Una pieza de ángulo de $x$ es cortado de un pastel, que es de color púrpura en la parte superior y de color amarillo debajo, y al revés. A continuación, otra pieza de ángulo de $x$ es de corte, de donde el pasado se hace un corte, y los recortes que llevan a las agujas del reloj alrededor de la tarta. ¿Por qué el pastel a ser todo de color púrpura en la parte superior después de un número finito de movimientos, o si no $x$ es racional?

También, el pastel de volver a púrpura después de un número finito de movimientos si el pastel de 3 o más capas y en lugar de las piezas al revés, las capas son cíclicamente permutada? O si los ángulos consecutivos de recortes ciclo a través de algunos secuencia finita $x_1...x_k$?

Answer 1

Debería haber sido obvio que el mero hecho de permuting las piezas que no iba a funcionar.

Si una línea entre el amarillo y el morado sección se llegó a la corte que terminó en el ángulo de $nx$, entonces si el corte, terminando en el ángulo de $mx$ es la siguiente pieza de corte que contiene esa línea, la línea se desplaza a la posición que va a ser alcanzado en la $m+(m-1)-n \ th$ corte. La forma en que todas las líneas se dio la vuelta y se convirtió en líneas que llegará más tarde de las fuerzas de la torta para volver a púrpura con el tiempo, y el mismo tipo de cosa que sucede cuando hay dos ángulos $x_1,x_2$.

Cuando hay tres ángulos de este argumento no funciona porque cuando la corte que llega a $(n+1)x_1+nx_2+nx_3$ va por encima de una línea en $(m+1)x_1+(m+1)x_2+mx_3$ va a darle la vuelta a $(2n-m)x_1+(2n-m-1)x_2+(2n-m)x_3$ que no es un corte que se garantiza que llegó más tarde.