Cómo encontrar el área de un triángulo a partir de sus medianas

Question

La longitud de tres medianas de un triángulo son $9$, $12$ y $15$ cm. El área (en cm²) del triángulo es

a) $48$

b) $144$

c) $24$

d) $72$

No quiero la solución completa, solo dame la pista de cómo puedo resolverlo. Gracias.

Answer 1

Área de un triángulo desde las medianas

Un triángulo se divide en $6$ áreas iguales por sus medianas:

$\hspace{2cm}$

En el caso en que los dos triángulos azules comparten un lado común del triángulo, es bastante simple ver que comparten una altura común (punteada) y bases iguales; por lo tanto, áreas iguales.

En el caso en que los dos triángulos rojos comparten $\frac23$ de una mediana común, las alturas (punteadas) son iguales ya que son lados correspondientes de dos triángulos rectángulos con hipotenusas iguales e iguales ángulos opuestos por el vértice, y comparten una base común; por lo tanto, áreas iguales.

Ahora, duplica el triángulo original (contorno oscuro) rotándolo media vuelta sobre el medio de uno de sus lados:

$\hspace{3cm}$

El triángulo en verde tiene lados de $\frac23a$, $\frac23b$, y $\frac23c$, y por la fórmula de Herón tiene un área de $$ \frac49\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\tag{1} $$ donde $s=(a+b+c)/2$. Por lo tanto, cada uno de los $6$ pequeños triángulos de igual área en el triángulo original tiene un área de la mitad de eso. Por lo tanto, el área del triángulo original es $3$ veces la dada en $(1)$: $$ \frac43\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\tag{2} $$

Answer 2

Sabes que las medianas dividen un triángulo en 6 áreas iguales. Si encuentras una de ellas, al multiplicar por 6 obtienes el área de todo el triángulo. Vamos a denotar una de las áreas como $S$, ahora mira la figura:

Supongo que viste el triángulo rectángulo.

Answer 3

El área de un triángulo formado por las medianas tomadas como lados es del 75% del triángulo del cual se han dado las medianas. Ahora puedes encontrar el área utilizando la fórmula de Herón y el área resultante será del 75% del área del triángulo del cual se han dado las medianas.

Answer 4

Hay una fórmula directa:

Sea $$s = (m_1+m_2+m_3)/2,$$

Entonces $$\text{área} = \frac{4}{3}\sqrt{s(s-m_1)(s-m_2)(s-m_3)}.$$

Esto da una respuesta a la pregunta anterior de $72$.

Answer 5

4/3 * 1/2*12*9 = 72 el área del triángulo de las medianas = 1/2*12*9=54