Pregunta de probabilidad (problema del Cumpleaños)

Question

Me preguntaba si alguien podría criticar mi argumento aquí. El problema es encontrar la probabilidad de exactamente donde 2 personas en una habitación llena de 23 personas comparten el mismo cumpleaños.

Mi argumento es que hay 23 elija 2 maneras veces $\displaystyle \frac{1}{365^{2}}$ para 2 personas para compartir el mismo cumpleaños. Pero, también tenemos que considerar el caso en el que participan 21 personas que no comparten el mismo cumpleaños. Esto es sólo 365 permutar 21 veces $\displaystyle \frac{1}{365^{21}}$. Para resumir:

$$\binom{23}{2} \frac{1}{365^2} \frac{1}{365^{21}} P\binom{365}{21}$$

Answer 1

La idea básica era la derecha, y una pequeña modificación es suficiente.

La línea de la gente en algún orden arbitrario. Hay, en virtud de la costumbre, la simplificación de la suposición de que el año ha $365$ días $365^{23}$ posible cumpleaños de secuencias. En virtud de la costumbre supuestos de independencia, y que todos los cumpleaños son igualmente probables, todas estas secuencias son igualmente probables. El supuesto "igualmente probable" no es correcto, aunque es más correcto para las personas que para las águilas.

Ahora contamos cuántas maneras podemos tener, precisamente, $2$ de las personas tienen la misma fecha de nacimiento, con todos los demás, teniendo un cumpleaños, es decir las diferentes unos de otros, y también diferentes desde el cumpleaños de nuestra pareja de cumpleaños.

La pareja puede ser elegido en $\binom{23}{2}$ maneras. Para cada una de estas formas, la pareja de cumpleaños puede ser elegido en $365$ maneras. Y los cumpleaños de los demás, puede ser elegido en lo que se llama a veces $P(364,21)$ maneras. (Siempre he evitado darle un nombre.) Por lo que el número de cumpleaños tareas que satisfacer nuestra condición es $$\binom{23}{2}(365)P(364,21), \quad\text{that is,}\quad \binom{23}{2}(365)(364)(363)\cdots (344).$$ Para la probabilidad, dividir por $(365)^{23}$.

Comentario: O bien argumentan de esta manera, lo que puede estar más cerca en espíritu a su pensamiento. Escoge a dos personas,$i$$j$. ¿Cuál es la probabilidad de que estos dos tienen la misma fecha de nacimiento, y todos los otros cumpleaños son diferentes a las de éste, y diferentes unos de otros? Lo $i$'s cumpleaños es, la probabilidad de que $j$'s coincide con es $\frac{1}{365}$. Por la costumbre de cumpleaños argumento, la probabilidad de que el cumpleaños de las otras personas son diferentes, y diferentes a los de los cumpleaños de la pareja, es $$\frac{364}{365}\frac{363}{365}\frac{363}{365}\cdots\frac{344}{365}.$$ Multiplicar la expresión anterior por $\frac{1}{365}$. Finalmente, suma el resultado sobre el $\binom{23}{2}$ formas de elegir los $i$$j$, lo que supone multiplicar por $\binom{23}{2}$.

Answer 2

Una breve simulación mediante R software permite la comprobación de algunos los métodos propuestos y que da respuestas a algunas preguntas relacionadas. A continuación X es el número de partidos (que se define como el número de personas de menos número de despedidos, los cumpleaños). Un millón de iteraciones proporcionan acerca de tres lugares de precisión; los valores más pequeños de m a correr más rápido, pero tienen algo más grande de simulación de error.

m = 10^6; x = numeric(m); n = 23

for (i in 1:m) {

cumpleaños = sample(1:365, n, rep=T)

x[i] = n - longitud(única(cumpleaños)) }

media(x == 0) # Exacto de P{X = 0} = 0.4927028

[1] 0.493275

media(x == 1) # Exacto de P{X = 1} = 0.3634222

[1] 0.362928

media(x) # Aprox E(X)

[1] 0.67928

sd(x) # Aprox SD(X)

[1] 0.7921738

La probabilidad exacta de que no coincide es de 'prod(365:343)/365^23' o 'prod(1 - (0:22)/365)'. La probabilidad exacto de un partido es de 'elegir(23,2)*prod(365:344)/365^23'. La aproximación de la PDF de X a partir de la simulación puede ser obtenido a partir de la mesa(x)/m', y es más cerca exacto que la aproximación de Poisson con una media de (23*22)/(2*365). Los resultados de la simulación sobre el uso de 'set.semilla(1234)'. Una similar de la simulación se muestra en Suess Y Trumbo: "Introducción. la Probabilidad de Simulación...", Springer (2010), páginas 4 a 7. (El anuncio de Amazon permite ver un par de páginas, incluyendo algunos la explicación de este código R.)

Modificado ligeramente la simulación puede aproximar el caso más realista en el que no todos los cumpleaños son igualmente probables (y puede incluir Feb. 29). El modesto día-a-día de la variación en el cumpleaños de frecuencias en el que NOS parece afectan el segundo decimal de P{X = 0} y E(X) alrededor de un dígito.

Bruce Trumbo

Answer 3

Esta pregunta se ha hecho en más formas de las que hay Budas. Busca aquí http://math.stackexchange.com/search?q=birthday+problema

cumpleaños problema - se espera que el número de colisiones <-how acerca de esto, usted debería ser capaz de encontrar una respuesta de una de las respuestas de los vinculados problema.

No estoy tratando de ser un culo; sin embargo, con uno de los más ampliamente conocidos pregunta de probabilidad de la existencia de tiempo, usted tiene que comprobar este sitio web antes de publicar.

tratando de salvarlo de ser duramente votada abajo.