¿Cómo puedo evaluar la siguiente integral? $\int(\sqrt{x}-x)(e^{\arctan\sqrt{x}})^2dx$

Question

¿Cómo puedo evaluar la siguiente integral? $$\int(\sqrt{x}-x)(e^{\arctan\sqrt{x}})^2dx$$

Me gustaría que toda la solución si es posible. He intentado utilizar la sustitución: $\sqrt{x}=t$, seguido por: $2\arctan{t}=m$, para obtener: $$\int e^m\tan^2{\frac{m}{2}}\sec^2{\frac{m}{2}}\left[1-\tan{\frac{m}{2}}\right]dm$$ Pero no me consigue en cualquier parte.

Una solución completa será apreciado con sinceridad.

Answer 1

Asumir la integral se puede escribir en la forma $g(x) = f(x) e^{2\arctan \sqrt{x}}$ por alguna función desconocida $f(x).$ $$ g'(x) = \left(f' + \frac{f}{\sqrt{x}(1+x)}\right)e^{2\arctan \sqrt{x}} $$ debe ser el integrando, lo que significa $$ f' + \frac{f}{\sqrt{x}(1+x)} = \sqrt{x}-x $$ o $$ \sqrt{x}(1+x)f' + f = x - x^{3/2} + x^2 - x^{5/2}. $$

Ahora encontrar una solución particular de esta ODA para $f$ mediante el método de coeficientes indeterminados con $f(x)=a_0 + a_1\sqrt{x} + a_2 x + a_3 x^{3/2} + a_4x^2.$ Esto se traduce en seis ecuaciones lineales en las cinco desconocido $a_i.$ a Los seis ecuaciones son consistentes con los $a_4=-1/2,$ $a_3=1,$ $a_2=-1,$ $a_1=1,$ y $a_0=-1/2.$

Answer 2

Para resolver un problema sin la literatura y programas que establece

$\displaystyle \int (\sqrt{x}-x)e^{2\arctan\sqrt{x}}dx = 2\int (t^2-t^3)e^{2\arctan t}dt := 2p(t)e^{2\arctan t} + C$

con $\enspace x=t^2$ y sabiendo que $\enspace \displaystyle (\arctan t)'=\frac{1}{1+t^2}$ . $\enspace p(t)$ es un polynom.

Tales métodos que he aprendido en la escuela (es decir: no es nada especial).

La derivación de ambos lados por $\enspace t\enspace $ y multiplicating por $\enspace 1+t^2\enspace $ da

$\displaystyle (t^2-t^3)(1+t^2)=(1+t^2)p'(t)+p(t)\enspace $ y ahora sabemos que el grado de la izquierda es $\enspace 5$

y sigue para $\enspace p(t)\enspace $ el grado $\enspace 4$ : $\enspace p(t):=a+bt+ct^2+dt^3+et^4$ .

La comparación de los coeficientes obtenemos $\enspace \displaystyle (a;b;c;d;e)=(-\frac{1}{4};\frac{1}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{4})$

y, por tanto,$\enspace \displaystyle p(t)=-\frac{1}{4}(1-2t+2t^2-2t^3+t^4)\enspace $$\enspace t=\sqrt{x}$.