¿A qué función converge esta serie?

Question

Tengo la siguiente ampliación de la serie $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^{b_n},$$ donde $a=\{a_n\}_{n=1}^\infty$ es tal que $\sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty$ y $b=\{b_n\}_{n=1}^\infty$ tal que $b_n\in (0,1/2)$ para todos $n\geq 1$ y $\lim_n b_n = 0$ .

¿Puedo encontrar una opción de $a$ y $b$ tal que tengo una forma cerrada para $f$ ? Por ejemplo:

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} x^{1/n}, \mbox{ or } f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} x^{1/n}$$ recuerdan al exponencial, pero no del todo. ¿Alguna idea?

Gracias por su apoyo.

Answer 1

No estoy seguro de entender qué es una fórmula cerrada (a veces es bueno decir qué funciones se pueden utilizar), pero podemos, por ejemplo, transformar series de convergencia lenta en series de convergencia rápida de las que se sabe que no hay una forma cerrada, por lo que merecen quizás una definición aparte.

Sea $\enspace\displaystyle e_m(x):=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!^m}\enspace$ para $\enspace m>0\enspace $ y con $\enspace x\in\mathbb{R}$ .

Sea $\enspace\displaystyle f(x):=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}x^{1/n}}{n}\enspace$ con $\enspace 0<x\leq 1$ .

De ello se desprende que

$$f(e^x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!n^k}=\ln 2+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!}\zeta(k+1)(1-\frac{1}{2^k})$$

que konverge relativamente rápido para $\enspace x\in\mathbb{R}\enspace$ y también es una extensión para $\enspace f(x)$ . $\enspace$ Con

$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!}\zeta(k+1)(1-\frac{1}{2^k})=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k!^2}\int\limits_0^\infty\frac{t^k}{e^t+1}dt=\int\limits_0^\infty\frac{e_2(xt)-1}{e^t+1}dt$$

y $\enspace\displaystyle \int\limits_0^\infty\frac{1}{e^t+1}dt=\ln 2\enspace$ obtenemos

$$f(x)=\int\limits_0^\infty\frac{e_2(t\ln x)}{e^t+1}dt$$

que es una fórmula cerrada por integral (si está bien usar $\, e_2(x)$ ) .

Nota:

Aquí no hay gran diferencia entre el criterio $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|<\infty$ y $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ es convergente para obtener una fórmula. Decide si $x=1$ está incluido o quizás no. Si $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|<\infty$ es obligatorio entonces, por ejemplo, para

$\displaystyle g(x):=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^{1/n}}{n^2}\enspace$ con $\enspace 0<x\leq 1$ y siguiendo el mismo camino anterior obtenemos

$$g(x)=\int\limits_0^\infty \frac{te_2'(t\ln x)}{e^t-1} dt=\int\limits_0^\infty\frac{(t-1)e^t+1}{(e^t-1)^2}\frac{e_2(t\ln x)-1}{\ln x} dt$$

Answer 2

Respuesta muy parcial. Aquí hay un gráfico de la función $$ y = f(x) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n!} x^{1/n} \quad ; \quad 0 < x,y < 10 $$ La convergencia es rápida. Cuanto más convergen (ipse est mayores valores de $\,N\,$ ) los dibujos son más oscuros. Una de las pocas cosas que se pueden decir es que la función pasa por el punto $\,\color{red}{(x,y) = (1,e-1)}$ .