Demostrar que hay cuatro distintos real número$x,y,z,w$, $|xz+yw|\ge |\sqrt{5}(xw-yz)|$

Question

Para cualquier nueve distintos números reales,hay exsit cuatro distintos real número $x,y,z,w$, $$|xz+yw|\ge |\sqrt{5}(xw-yz)|$$

Creo que puede utilizar el principio del palomar para resolverlo?Gracias

Answer 1

Parece ser que en realidad sólo $7$ números reales suficiente, aunque he tenido que usar una calculadora, por lo que algunos inteligentes escrito a mano argumento puede ser suficiente para $9$ números reales.

En primer lugar vamos a considerar cuando se $|xy+zw|\ge|\sqrt{5}(xw-yz)|$. Pido disculpas por la falta de diagrama, puede que desee dibujar uno a medida que lee.

Tenemos $xy+zw=\binom{x}{z}\cdot\binom{y}{w}=|A||B|\mathrm{cos}(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre el$A=\binom{x}{z}$$B=\binom{y}{w}$$xw-yz=\binom{x}{z}\cdot\binom{w}{-y}$. Observe que $\binom{w}{-y}$ puede ser obtenida por la rotación de $\binom{y}{w}$ $90^\circ$ las agujas del reloj (resulta que en esta pregunta que los títulos será más fácil que radianes). Por lo tanto,$|\binom{x}{z}\cdot\binom{w}{-y}|=|A||B||\mathrm{cos}(90^\circ-\theta)|=|A||B||\mathrm{sin}(\theta)|$. Poner esto juntos $|xw-yz|/|xy+zw|=|\mathrm{sin}(\theta)/\mathrm{cos}(\theta)|=|\mathrm{tan}(\theta)|$ así que la pregunta es, en cambio cuando es $|\mathrm{tan}(\theta)|\le\frac{1}{\sqrt{5}}$.

He utilizado una calculadora, pero no puede ser una inteligente escrito a mano cálculo que podría utilizar en su lugar. $\mathrm{tan}^{-1}(\frac{1}{\sqrt{5}})\approx 24.09^\circ$. En particular, si $|\theta|\le 24^\circ$ o $|180^\circ-\theta|\le 24^\circ$, entonces la desigualdad se cumple.

Ahora, como usted sospecha que usamos el principio del palomar.

De la $7$ números reales, elija tres distintos pares de $(x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6)$ de manera tal que cada número de un determinado par de divisas tiene el mismo signo - es fácil mostrar que esto es posible! En particular, cada una de las $\binom{x_i}{x_{i+1}}$ se encuentra en la esquina superior derecha o cuadrante inferior izquierdo del avión real - nota también de que $x_i\ne x_{i+1}$, de modo que no se encuentran en la línea de $x=y$.

Ahora dividimos la unión de estos cuadrantes (menos la línea de $x=y$) a $4$ define. $$A=\{\binom{x}{y}|x=0\hspace{0.2cm}or\hspace{0.2cm}\mathrm{tan}^{-1}(y/x)>77.5^\circ\}$$ $$B=\{\binom{x}{y}|45^\circ<\mathrm{tan}^{-1}(y/x)\le77.5^\circ\}$$ $$C=\{\binom{x}{y}|22.5^\circ\le \mathrm{tan}^{-1}(y/x)<45^\circ\}$$ $$D=\{\binom{x}{y}|0^\circ\le\mathrm{tan}^{-1}(y/x)<22.5^\circ\}$$

Aviso de que cualquiera de los dos puntos acostado en uno de estos conjuntos de crear un ángulo en el origen $\theta$ $|\theta|\le 22.5^\circ$ o $|180^\circ-\theta|\le 22.5^\circ$. Por lo tanto, para encontrar $4$ números reales que satisfacen la desigualdad es suficiente para el uso de $4$ a definir dos puntos en uno de estos conjuntos.

De cada par coloque el punto de $\binom{x_i}{x_{i+1}}$ en el avión. Por el pidgeonhole principio, debemos tener dos puntos se encuentran en cualquiera de las $A\cup D$ o $B\cup C$. Si un punto de $\binom{x}{y}$ se encuentra en $C$ o $D$ $\binom{y}{x}$ se encuentra en $B$ o $A$ respectivamente. Esto significa que mediante el intercambio de $x_i$ $x_{i+1}$ si es necesario obtenemos dos puntos en $A$ o de dos puntos en $B$.