¿Existe una forma cerrada para los polinomios que satisfacen esta relación de recurrencia?

Question

Consideremos la relación de recurrencia

$$P(1)=1$$ $$P(2)=x$$ $$P(n)=x\cdot P(n-1)+P(n-2)$$

Los primeros polinomios son $$1,x,x^2+1,x^3+2x,x^4+3x^2+1$$

Los polinomios se dan en los convergentes del número con fracción continua $[x,x,x,\cdots]$

¿Existe una forma cerrada para $P(n)$ para todos $n\in\mathbb N$ ?

Answer 1

Dejemos que $\alpha,\beta$ sean las soluciones de $t^2=xt+1$ .

Desde $$\alpha+\beta=x,\quad \alpha\beta=-1$$ tenemos $$P(n+1)=(\alpha+\beta)P(n)-\alpha\beta P(n-1)$$

Así, obtenemos $$P(n+1)-\alpha P(n)=\beta (P(n)-\alpha P(n-1))=\cdots =\beta^{n-1}(P(2)-\alpha P(1))$$ y $$P(n+1)-\beta P(n)=\alpha (P(n)-\beta P(n-1))=\cdots =\alpha^{n-1}(P(2)-\beta P(1))$$

Si se resta lo segundo de lo primero se obtiene $$(\beta-\alpha)P(n)=\beta^{n-1}(x-\alpha)-\alpha^{n-1}(x-\beta),$$ es decir $$P(n)=\frac{\beta^{n-1}(x-\alpha)-\alpha^{n-1}(x-\beta)}{\beta-\alpha}$$ donde $$\alpha=\frac{x-\sqrt{x^2+4}}{2},\quad\beta=\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2}$$

Answer 2

¿Existe una forma cerrada para los polinomios que satisfacen esta relación de recurrencia?

Sugerencia . La respuesta es sí. Se puede utilizar la ecuación característica (ver aquí o aquí ) para obtener $$ P(n)=c_1 \left(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}2\right)^n+c_2 \left(\frac{x-\sqrt{x^2+4}}2\right)^n. $$

Answer 3

Por encima de lo que ya se ha escrito, cabe destacar que estos polinomios están directamente relacionados con Polinomios de Chebyshev de segundo tipo en particular (asumiendo que tengo mi normalización correcta), su $P_n(x) = i^{-n}U_n(\frac {ix}2)$ Por lo tanto, sirven como una especie de análogo hiperbólico. La relación puede extraerse de la relación de recurrencia $U_{n+1}(x)=2xU_n(x)-U_{n-1}(x)$ con un poco de álgebra. Esto también significa que debe haber una relación explícita en términos de sinh y cosh, basada en la relación $\sin((n+1)\theta)=U_n(\cos\theta)\sin(\theta)$ .