20 círculos en el plano, todo lo que pasa por el origen

Question

Supongamos que yo dibuje $20$ círculos en el plano, todo lo que pasa por el origen, pero no hay dos tangentes en el origen. También, excepto por el origen, no hay tres círculos de pasar a través de un punto común. Cuántas regiones se crean en el avión?

Así que me las he arreglado para compilar la siguiente tabla:

Número de Círculos $ \rightarrow$ Número de Regiones: $0 \rightarrow 1$, $1\rightarrow 2$, $2 \rightarrow 4$, $3 \rightarrow 7$, $4 \rightarrow 11$, $5 \rightarrow 16$

Sin embargo, yo no estoy viendo un patrón que me ayudará a establecer el número de regiones para $n$ círculos.
Sé que cada vez que agregue un nuevo círculo, estoy añadiendo $1$ nueva región, además de algunos otros que están delimitadas por el nuevo círculo y adyacentes círculos.
Algún consejo sobre cómo proceder en el futuro?

Answer 1

Una sugerencia:

Mueva el origen a $\infty$ utilizando el mapa de $z\mapsto{1\over z}$. A continuación, los círculos se convierten en líneas, no hay dos de ellos en paralelo, y no hay tres de ellos pasa por el mismo punto.

Indicar el número de regiones creadas por $n$ líneas $a_n$, y encontrar una recursividad de la $a_n$.

Answer 2

Imaginge el dibujo de su $n$ círculos como un plano gráfico. Las intersecciones de los círculos son los vértices, los arcos entre las intersecciones de las aristas. Usted tiene una central de vértices de grado $2n$ $\frac12 n(n-1)$ otros vértices de grado $4$ (aquí, la tangente de la condición y el "no hay tres círculos se intersectan en un único punto la condición en que se utilizan). Ahora tenemos $$v=\frac12n(n-1)+1$$ vértices y $$e=\frac12 \sum_i{\mathrm{degree}(v_i)} = \frac12\left(\frac12 n(n-1)\cdot 4+2n\right)=n^2$$ los bordes. El uso de Euler poliédrica fórmula da $f=e-v+2=\frac12n(n+1)+1$ caras. Para $n=20$ obtuvo $211$ caras.

Answer 3

Otras respuestas se centran en la misma geometría, pero esta respuesta se centra en la secuencia generada, como se observa por $n\in[0,5]$.

Dos tipos comunes de secuencia que puede surgir en preguntas como estas son polinómicas y factorial de las secuencias. Para comprobar los patrones de el factorial de tipo, por lo general los intentos de coeficientes de los términos (como $a_n/a_{n-1}$ o $a_n/a_{n-2}$) y busca un patrón en estas relaciones.

Esta secuencia, sin embargo, parece más polinomio. Para estos, puede ser útil para examinar las diferencias entre los términos. Considere la posibilidad de $b_n=a_n-a_{n-1}$. Ahora, tenemos

$$ \begin{array}{c|cccccc} n && 0 && 1 && 2 && 3 && 4 && 5\\\hline a_n && 1 && 2 && 4 && 7 && 11 && 16\\ b_n && - && 1 && 2 && 3 && 4 && 5 \end{array} $$

Inmediatamente, usted debe ver a un patrón. $b_n=n$, al menos hasta el $n=5$. Y así, tenemos $a_n=a_{n-1}+n$ (de la que debería ser relativamente fácil encontrar la solución, señalando que $a_0=1$).

Esto invita a una evidente interpretación - por cada círculo, se agrega como muchas de las nuevas regiones como hay círculos. Esto puede ayudar a informar a una búsqueda de la razón para el patrón observado.

Ahora, considere lo que sucede cuando realmente añadir un nuevo círculo a un conjunto de los círculos existentes - para cada uno de los círculos existentes, se cruzan una vez fuera del origen. Para cada intersección, con la correspondiente región está dividida en dos por el nuevo círculo. Por lo tanto, hay una región adicional para cada círculo existente... y uno para el origen. Así que cuando usted agregue el $n$th círculo, agregar $n$ regiones.

(la división se produce a lo largo del arco entre pares consecutivos en los puntos de intersección)

Esto es consistente con el patrón observado.

Answer 4

Lo que me parece divertido, es que usted no necesita llenar la circunferencia. En el hecho de que usted recibirá exactamente el mismo número de sectores en estas 2 maneras diferentes de colocar los círculos:

Pero en la primera (izquierda) caso, el razonamiento sobre el número de sectores es mucho más fácil. De algún modo parece que has encontrado un "invariante" para los círculos.

Ahora mirando la foto de la izquierda va a reconocer el patrón por cierto, Parece buscas donde la "visualización" en lugar de una simple algebric prueba.

Y aquí está:

$$3(k-1) + 1$$

Donde $k$ es el número de círculos de curso. Para $1$ círculo que contiene. Que no se sostenga por $2$ círculos (o $3$ o $5$). El hecho es que tuve mala suerte en la elección de $4$ como el número de partida de los círculos.

Así que vamos a ver por qué, sólo se centra en la región externa:

Cada agregado círculo va a ir a través de 1 extra círculo en comparación con los anteriores círculos. Que no es más que "la mitad de la plaza" de plazas. No recuerdo la fórmula exacta para que, pero desde que se nos da ya el número de círculos ¿por qué no usar directamente?

$$\frac{(k-1)(k-2)}2$$

Por lo que el número total de sectores en el interior del círculo es:

$$2(k-1) + \frac{(k-1)(k-2)}2 + 1$$

Ahora en esta ocasión tenemos algo que vale para cualquier número de círculos por encima de $3$.

• $0$ Círculos: codificado $0$ regiones
• $1$ Círculo: codificado $1$ región
• $2$ Círculos: codificado $3$ regiones
• $3$ Círculos: $(2\times2) + (1) + 1 = 5$ regiones
• $4$ Círculos: $(2\times3) + (3) + 1 = 10$ regiones
• $5$ Círculos: $(2\times4) + (6) + 1 = 15$ regiones

Esto no es una prueba real, sino que ayuda a la visualización, que es lo OP pidió. :)

Answer 5

Habrá tres diferentes factible regiones en las que el plano se divide. Estos son:

1. La región entre la intersección de los dos círculos.
2. La región dentro de un círculo, pero no limitada por algún otro círculo.
3. La región no acotada por cualquier círculo.

La región de intersección se puede encontrar por la elección de dos círculos de $n$ $2$ círculos contendrá una región, por lo que por el método de combinación: $\binom{n}{2}$

La región dentro de un círculo, pero no limitada por segundo círculo será igual a $n$ (una de cada círculo).

Finalmente, el resto de plano será el unbounded región.

Por lo tanto, el total de partes en que $n$ círculos dividen el plano: $\binom{n}{2}+n+1$. Enchufar el valor de $n=20$ según la pregunta, podemos obtener el número de regiones como $211$.

Caso de prueba: Considere la posibilidad de una intersección de los tres círculos:

(He denota las diferentes regiones por colores distintos). Se puede observar que estos $3$ círculos dividen el plano en $7$ regiones, lo cual está de acuerdo con la respuesta.