¿Por qué funciona la regla de la potencia?

Question

Si $$f(x)=x^u$$ then the derivative function will always be $$f'(x)=u*x^{u-1}$$ He estado tratando de averiguar por qué tiene sentido y no acabo de llegar.

Sé que puede ser demostrado con los límites, pero estoy buscando algo más básico, algo de lo que me puedo imaginar en mi cabeza.

La derivada debe ser la pendiente de la función. Si $$f(x)=x^3=x^2*x$$ then the slope should be $x^2$. But it isn't. The power rule says it's $3x^2$.

Entiendo que tiene que ver con tener las variables en donde de una manera más simple de la ecuación no sería una constante. Estoy tratando de entender cómo exactamente se traduce en el poder de la regla.

Answer 1

Primero vamos a tratar de entender por qué la derivada de la función $f$ $f(x) = x^2$ es igual a $2x$ e no $x$. (El producto de la regla y el poder de la regla son tanto las generalizaciones de esta.)

Imagina que tienes un cuadrado cuyos lados tienen longitud $x$. Ahora imagínese lo que sucede a su área, si se aumenta la longitud de cada lado por una pequeña cantidad $\Delta x$. Podemos hacer esto mediante la adición de tres regiones de la imagen: dos rectángulos finas de medición $x$ $\Delta x$ (por decir uno a la derecha de la plaza y otro en la parte superior) y un pequeño cuadrado de $\Delta x$ $\Delta x$ (es decir añadido en la esquina superior derecha.) Así que el cambio en el área de $x^2$ es igual a $2x \cdot \Delta x + (\Delta x)^2$. Si dividimos esto por $\Delta x$ y tomar el límite cuando $\Delta x$ se aproxima a cero, obtenemos $2x$.

Tan geométricamente lo que está sucediendo es que el pequeño cuadrado en la esquina es demasiado pequeño para la materia, pero usted tiene que contar ambos rectángulos. Si se cuentan sólo uno de ellos, obtendrá la respuesta $x$; sin embargo, esto sólo indica lo que sucede cuando se alargan, dicen, los lados horizontales y no verticales a los lados de tu plaza para conseguir un rectángulo. Este es un problema diferente que la virtud de la consideración, en la que pide (después de ponerlo en términos geométricos) cómo el área varía a medida que nos alargar todos los lados.

Answer 2

Si sabes la regla del producto, puede derivar esto para cuando $u$ es un entero positivo, que le dará un entendimiento básico de la intuitivo.

Supongamos, por ejemplo, que $f(x) = x^2$. Equivalente, $f(x) = x*x$. Usando la regla del producto, tenemos $$f(x) = (1)(x) + (x)(1) $ $ $$= 2x$ $

Más general, supongamos que $f(x) = x^u$. Supongamos por ahora que $u$ es un entero positivo, que nos permite expandir así: %#% $ de #% uso la regla otra vez, podemos decir $$f(x) = \underbrace{(x)(x)...(x)(x)}_{u\text{ terms}}$ $ que simplifica a $$f(x) = \underbrace{\underbrace{(1)(x)...(x)(x)}_{u \text{ terms}} + (x)(1)...(x)(x) + ... + (x)(x)...(1)(x) + (x)(x)...(x)(1)}_{u\text{ terms}}$ $

Answer 3

Para enteros positivos $n$, podemos usar el teorema del binomio. Que $f(x)=x^n$. Queremos encontrar la pendiente de la tangente de $y=f(x)$ $x=a$. Así que tome un % muy pequeño $h$y calcular %#% $ de #% por el teorema del binomio, $$\frac{(a+h)^n-a^n}{h}.$.

Ya que $(a+h)^n=a^n+na^{n-1}h +\binom{n}{2}a^{n-2}h^2+\cdots$ es pequeña, $h$ $h^2$ y así sucesivamente son insignificantes en comparación con $h^3$. Así $h$ $

Answer 4

Esto puede ser demasiado avanzado para usted ahora, pero el saber acerca de la derivada de la función de registro puede ser muy útil.

La idea básica es que $(\ln(x))' = 1/x$, donde $\ln$ es el logaritmo natural.

La aplicación de la regla de la cadena, $(\ln(f(x))' = f'(x)/f(x)$.

Para este caso, set $f(x) = x^n$. A continuación,$\ln(f(x)) = \ln(x^n) = n \ln(x)$. Tomando derivados en ambos lados, $(\ln(x^n))' = f'(x)/f(x) = f'(x)/x^n$ y $(\ln(x^n))' = (n \ln(x))' = n/x$, así $f'(x)/x^n = n/x$ o $f'(x) = n x^{n-1}$.

De manera más general, si $f(x) = \prod a_i(x)/\prod b_i(x)$, entonces $\ln(f(x)) = \sum \ln(a_i(x))-\sum \ln(b_i(x))$ así

$\begin{align} f'(x)/f(x) &= (\ln(f(x))'\\ &= \sum (\ln(a_i(x))'-\sum (\ln(b_i(x))'\\ &=\sum (a_i(x))'/a_i(x)-\sum (b_i(x))'/b_i(x)\\ \end{align} $,

así $f'(x) = f(x)\left(\sum (a_i(x))'/a_i(x)-\sum (b_i(x))'/b_i(x)\right) $.

Tenga en cuenta que esta técnica, se llama diferenciación logarítmica, generaliza tanto el producto y cociente de normas para los productos derivados.

Answer 5

El exponente "sale en portada" como un coeficiente porque potencias mayores polinomios representan una mayor tasa de cambio. Es decir, $x^5$ crece más rápido que $x^4$ y así sucesivamente.

Sólo veamos $y = x$ aunque. Si usted integra $x$ $0$ $1$, ¿Qué obtienes? Obviamente $1/2$ debido a cortes de la línea de $y = x$ $((0,0) (1,1))$ cuadrado por la mitad. Así, la integral debe ser $\frac{x^2}{2}$. Si desea que la integral a ser $x^2$, tienes que integrar $2x$, no $x$.