Puesto que tan tiene un poder extraño normalmente se pretende sub $u=\sec(x)$, pero no puedo deshacerme del $2^x$. $$\int 2^x \tan^9(x^2)\sec(x^2)dx$$
También traté de integrar por partes pero se puso más complicada.
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Esto no es una respuesta a la publicación de la pregunta (la $2^x$ probablemente debería ser $2x$ como se discute en los comentarios). Sin embargo, espero que mi solución aún serán de utilidad para aquellos que vienen a través de esta pregunta, de todos modos:
$$\int 2x\tan^9(x^2)\sec(x^2) \, dx$$ We first start by simplifying the argument in the tangent and secant terms. Let's make a $u$-substitution where $u = x^2 \implica du = 2x \, dx$. Así tenemos $$ \int \tan^9(u)\sec(u) \, du$$ Se necesita algo de práctica para ver qué otra sustitución debe ser. Tiene que ver con la paridad [incluso-ness vs odd-ness], tanto de los poderes de la tangente y la secante. Haga clic aquí para Pauls en Línea de Notas, o aquí para más enfoques generales para estos tipos de problemas de integración, junto con ejemplos. De todos modos, la sustitución adecuada es $v=\sec(u) \implies dv = \sec(u)\tan(u) \, du$ y nos quedamos con $$\int \tan^9(u)\sec(u)\, du \\ = \int \tan(u)\tan^8(u)\sec(u)\,du \\ = \int \tan^8(u)\sec(u)\tan(u)\,du \\ = \int [\tan^2(u)]^4\sec(u)\tan(u)\,du \\ = \int [\sec^2(u)-1]^4 \sec(u)\tan(u)\,du \\ = \int [v^2-1]^4 \, dv$$ En este punto es sólo la expansión en un polinomio, que siempre es bienvenida cuando se trata de la integración: $$ \int [v^2-1]^4 \, dv \\ = \int [(v^2-1)(v^2-1)]^2\,dv \\ = \int [v^4-2v^2+1]^2\, dv \\ = \int (v^4-2v^2+1)(v^4-2v^2+1)\,dv \\ = \int (v^8 -2v^6+v^4-2v^6+4v^4-2v^2+v^4-2v^2+1)\, dv \\ = \int (v^8 -4v^6 + 6v^4-4v^2+1)\,dv \\ = \frac{1}{9}v^9-\frac{4}{7}v^7+\frac{6}{5}v^5-\frac{4}{3}v^3+v + C$$ Pero sabemos $v=\sec(u)$, $u=x^2$ desde el anterior. Así conocemos $v=\sec(x^2)$. Vamos de nuevo-sustituir y reemplazar todos los $v$'s $\sec(x^2)$ para obtener: $$ \frac{1}{9}\sec^9(x^2)-\frac{4}{7}\sec^7(x^2)+\frac{6}{5}\sec^5(x^2)-\frac{4}{3}\sec^3(x^2)+\sec(x^2)+C$$
