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¿Cómo uno muestra que el conjunto de racionales es topológicamente desconectado?

Deje $\mathbb{Q}$ el conjunto de los racionales con su habitual topología basada en la distancia: $$d(x,y) = |x-y|$$ Supongamos que sólo podemos utilizar los axiomas acerca de $\mathbb{Q}$ (y no el axioma acerca de $\mathbb{R}$, el conjunto de los reales). Entonces, ¿cómo podemos demostrar que $\mathbb{Q}$ es topológicamente desconectado, es decir: existen dos conjuntos de $X$ $Y$ cuya unión es $\mathbb{Q}$?

Si se nos permitió el uso de axiomas acerca de $\mathbb{R}$, entonces se podría demostrar que para cualquier número irracional $a$:

  • si $M$ es la intersección de a $]-\infty, a[$ con los racionales, a continuación, $M$ es un conjunto abierto de $\mathbb{Q}$
  • si N es la intersección de a $]a, +\infty[$ con los racionales, a continuación, $N$ es un conjunto abierto de $\mathbb{Q}$
  • $\mathbb{Q}$ es la unión de $M$$N$. CQFD.

Pero si no está permitido el uso de axiomas acerca de $\mathbb{R}$, sólo los axiomas acerca de $\mathbb{Q}$?

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Anthony Shaw Puntos 858

Los racionales es la Unión de dos conjuntos abiertos disjuntos $\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}$ y $\{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\}$.

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Hanul Jeon Puntos 12958

$(\mathbb{Q},d)$ es espacio métrico. Desde connceted espacio métrico teniendo más que más de un punto es incontable y $\mathbb{Q}$ es contable, se debe desconectar $(\mathbb{Q},d)$.

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Hagen von Eitzen Puntos 171160

Una la de Cantor de la primera prueba de uncountability de $\mathbb R$:

Fijar una enumeración de los contables set $\mathbb Q$. En la siguiente, expresiones como "primer racional" se refieren a esta enumeración. Deje $a_0$ ser el primer racional. Deje $b_0$ ser el primer racional mayor que $a_0$. Para $n=0,1,2\ldots$ hacer lo siguiente: Dado racionales $a_n<b_n$ deje $c,d$ ser el primero de dos racionales entre $a_n$ $b_n$ (números que existen, por ejemplo,$a_n<\frac{2a_n+b_n}3<\frac{a_n+2b_n}3<b_n$). Vamos $a_{n+1}=\min\{c,d\}$, $b_{n+1}=\max\{c,d\}$. Tenga en cuenta que esto implica $$\tag1a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n.$$

Deje $$\tag2U=\{x\in\mathbb Q\mid \exists n\colon x<a_n\}, \quad V=\{x\in\mathbb Q\mid \exists n\colon x>b_n\}.$$ A continuación, $U,V$ son no vacías abrir los subconjuntos de a $\mathbb Q$ con $U\cap V=\emptyset$, $U\cup V=\mathbb Q$:

  • no vacío: $a_0-1\in U$, $b_0+1\in V$
  • abierto: $x\in U$ implica $x<a_n$ algunos $n$, implica $y\in U$ todos los $y$$|y-x|<a_n-x$. Asimismo, para $V$
  • discontinuo: Suponga $x\in U\cap V$. A continuación, $b_n<x<a_m$ algunos $n,m$. La aplicación repetida de (1) produce $b_{\max\{n,m\}}\le\ldots \le b_n<a_m\le\ldots\le a_{\max\{n,m\}}$, contradicción
  • cobertura: Si $x\in \mathbb Q$, entonces no es un índice $m$ a la que se produce en la enumeración de $\mathbb Q$. Si $x$ no está entre los primeros a $2n$ números de $a_0,\ldots a_{n-1}, b_0,\ldots,b_{n-1}$ seleccionado, a continuación, cualquiera de $m>2n$ o $x$ no está entre los $a_{n-1}$$b_{n-1}$. La primera opción está descartado para el $n$ lo suficientemente grande, la segunda implica $x<a_n$ o $x>b_n$, por lo tanto $x\in U\cup V$.

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