Deje $\mathbb{Q}$ el conjunto de los racionales con su habitual topología basada en la distancia: $$d(x,y) = |x-y|$$ Supongamos que sólo podemos utilizar los axiomas acerca de $\mathbb{Q}$ (y no el axioma acerca de $\mathbb{R}$, el conjunto de los reales). Entonces, ¿cómo podemos demostrar que $\mathbb{Q}$ es topológicamente desconectado, es decir: existen dos conjuntos de $X$ $Y$ cuya unión es $\mathbb{Q}$?
Si se nos permitió el uso de axiomas acerca de $\mathbb{R}$, entonces se podría demostrar que para cualquier número irracional $a$:
- si $M$ es la intersección de a $]-\infty, a[$ con los racionales, a continuación, $M$ es un conjunto abierto de $\mathbb{Q}$
- si N es la intersección de a $]a, +\infty[$ con los racionales, a continuación, $N$ es un conjunto abierto de $\mathbb{Q}$
- $\mathbb{Q}$ es la unión de $M$$N$. CQFD.
Pero si no está permitido el uso de axiomas acerca de $\mathbb{R}$, sólo los axiomas acerca de $\mathbb{Q}$?