7 votos

¿Es cero el determinante de un divisor nulo?

Supongamos que $A$ es un divisor cero en el anillo de $(n\times n)$ -sobre el anillo $R$ .

Es $\det(A) =0$ si $R$ ¿es un campo?

Es $\det(A) =0$ si $R$ ¿es un dominio integral?

No es necesariamente cierto si $R$ tiene divisores cero. Tomemos por ejemplo $R=\mathbf{Z}/2^{n+1}\mathbf{Z}$ y $A=\textrm{diag}(2,2,\ldots,2)$ . Entonces $A^{n+1}=0$ pero $\det A = 2^n \neq 0$ .

Por supuesto, si $R$ es un anillo reducido y $A$ es nilpotente, tenemos que $\det(A) =0$ . De hecho, $A^m=0$ para algunos $m>0$ . Así, $\det(A)^m = \det(A^m) =0$ . Así $\det(A) $ es nilpotente en $R$ . Por lo tanto, tenemos que $\det(A) =0$ .

6voto

Lorin Hochstein Puntos 11816

Para un campo, $A\neq 0$ es un divisor cero si y sólo si no es invertible.

Si $A$ no es invertible, entonces $P$ sea la proyección sobre el espacio eigénico de $A$ correspondiente a $0$ . Entonces $P\neq 0$ ya que el espacio eigénico no es trivial, pero $AP=0$ . Y dejar que $W$ sea cualquier complemento de $\mathrm{Im}(A)$ (que no es trivial por el Teorema de Rank-Nullity), y dejando que $Q$ sea la proyección sobre $W$ a lo largo de $\mathrm{Im}(A)$ da $QA=0$ Así que $A$ es un divisor cero. A la inversa, si $A$ es un divisor cero, entonces no es una unidad.

Así, $A$ es un divisor nulo si y sólo si $A$ no es invertible, si y sólo si $\det(A)=0$ .

Para $R$ un dominio integral, mira $A$ como matriz sobre $Q(R)$ el campo de fracciones de $R$ . Sigue siendo un divisor cero sobre $Q(R)$ por lo que su determinante es cero por el argumento anterior.

Añadido. La inversa también vale sobre un dominio integral (vale en campos, como ya se ha dicho): si $\det(A)=0$ a continuación, trabajando sobre $Q(R)$ puede encontrar una matriz $P$ y una matriz $Q$ con coeficientes en $Q(R)$ tal que $QA = AP = 0$ . Aunque estas matrices no estén en $R$ multiplicándolas por un escalar adecuado se situarán en $R$ : simplemente expresa cada entrada como una fracción $\frac{a}{b}$ con $a,b\in R$ y multiplicar por el producto de todos los denominadores. Aunque puede que no haya expresiones únicas (ni siquiera expresiones reducidas únicas), simplemente elige una expresión para cada entrada y úsala.

3voto

Nir Puntos 136

Supongo que el anillo $R$ es conmutativa.
La fórmula $A.A^{adj}=A^{adj}.A=det(A).Id$ muestra que si $det(A)\in R^\times$ es decir, si $det(A)$ es invertible en $R$ entonces la matriz $A$ será invertible y, por tanto, ciertamente no será un divisor cero en $M_n(R)$ .

Por contraposición deducimos que si $A$ es un divisor cero en $M_n(R)$ y si $R$ es un campo, entonces $det(A)=0$ .

Si $R$ es sólo un dominio y $A$ es un divisor nulo en $M_n(R)$ la matriz $A$ se a fortiori sea un divisor nulo en $M_n(Frac(R))$ y así sucesivamente $det(A)=0$ .
(Fíjate en que el determinante de $A$ es el mismo si se considera que $A$ tiene coeficientes en $R$ o en $Frac(R)$ !)

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