Para un campo, $A\neq 0$ es un divisor cero si y sólo si no es invertible.
Si $A$ no es invertible, entonces $P$ sea la proyección sobre el espacio eigénico de $A$ correspondiente a $0$ . Entonces $P\neq 0$ ya que el espacio eigénico no es trivial, pero $AP=0$ . Y dejar que $W$ sea cualquier complemento de $\mathrm{Im}(A)$ (que no es trivial por el Teorema de Rank-Nullity), y dejando que $Q$ sea la proyección sobre $W$ a lo largo de $\mathrm{Im}(A)$ da $QA=0$ Así que $A$ es un divisor cero. A la inversa, si $A$ es un divisor cero, entonces no es una unidad.
Así, $A$ es un divisor nulo si y sólo si $A$ no es invertible, si y sólo si $\det(A)=0$ .
Para $R$ un dominio integral, mira $A$ como matriz sobre $Q(R)$ el campo de fracciones de $R$ . Sigue siendo un divisor cero sobre $Q(R)$ por lo que su determinante es cero por el argumento anterior.
Añadido. La inversa también vale sobre un dominio integral (vale en campos, como ya se ha dicho): si $\det(A)=0$ a continuación, trabajando sobre $Q(R)$ puede encontrar una matriz $P$ y una matriz $Q$ con coeficientes en $Q(R)$ tal que $QA = AP = 0$ . Aunque estas matrices no estén en $R$ multiplicándolas por un escalar adecuado se situarán en $R$ : simplemente expresa cada entrada como una fracción $\frac{a}{b}$ con $a,b\in R$ y multiplicar por el producto de todos los denominadores. Aunque puede que no haya expresiones únicas (ni siquiera expresiones reducidas únicas), simplemente elige una expresión para cada entrada y úsala.