A menudo decimos "que F sea un campo", por lo que me preguntaba si podríamos considerar, en ZFC, el conjunto de todos los campos sin algunas contradicciones (por lo que no tenemos que usar el global axioma de la opción en la clase de todos los campos a elegir uno)
Respuestas
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Ejercicio: cada conjunto es un elemento de (el conjunto subyacente de) algún campo. (SUGERENCIA: Dado un conjunto $x$, vamos a $y$ ser cualquier conjunto distinto de $x$; ahora dar $\{x, y\}$ un campo de la estructura.)
Si usted cree esto, entonces si $F$ fueron el conjunto de todos los campos, $\bigcup F$ sería el conjunto de todos los conjuntos.
Tenga en cuenta que no hay nada especial acerca de los campos aquí; el mismo argumento funciona para
grupos,
espacios topológicos,
anillos,
semigroups con exactamente 18 elementos,
etc.
Sin embargo, usted podría preguntar:" ¿ hasta isomorfismo?" Es decir, hay un conjunto $S$ de los campos que cada campo es isomorfo a un elemento de $S$?
Aquí, el argumento anterior no funciona, pero la respuesta sigue siendo "no" - para $\kappa$ a un cardenal, vamos a $F_\kappa$ ser un campo conseguido por contigua $\kappa$-muchos trascendentales a $\mathbb{Q}$. Esto demuestra que $S$ tiene que contener conjuntos de arbitrariamente grande, cardinalidad, que a su vez (ejercicio) puede ser usado para construir el conjunto de todos los ordinales, violando el Burali-Forti paradoja.
De nuevo, este mismo argumento se puede aplicar a prácticamente cualquier tipo de estructura.
Sin embargo, tenga en cuenta que el conjunto de campos con un tipo fijo de conjunto subyacente no existe (powerset + separación), y por lo tanto para hacer conjuntos que contienen (hasta el isomorfismo) cada campo de tamaño de $<\kappa$ fijos $\kappa$.
Vik78
Puntos
16
Revisa el teorema Lowenheim Skolem. Se dice que, puesto que la primera teoría de la orden de los campos es contable y tiene un modelo infinito (es decir, un conjunto infinito existe que cumpla con la teoría), debe tener un modelo infinito de cada cardinalidad. Esto implica que el "conjunto" de todos los campos es una clase apropiada, ya que existe al menos un campo de cada cardinalidad y el "conjunto" de todos los números cardinal es una clase adecuada.
