Las técnicas utilizadas para la integración indefinida de funciones elementales son en realidad bastante simple en el trascendental (vs algebraicas), es decir, el caso en que el integrando se encuentra en un puramente trascendental extensión del campo de funciones racionales $\rm\mathbb C(x)$. Informally this means that the integrand lies in some tower of fields $\rm\mathbb C(x) = F_0 < \cdots < F_n = \mathbb C(x,t_1,\ldots,t_n)$ which is built by adjoining an exponential or logarithm of an element from the prior field, i.e $\rm\ t_{i+1} =\: exp(f_i)\ $ or $\rm\ t_{i+1} =\: log(f_i)\ $ for $\rm\ f_i \in F_i$ where $\rm t_{i+1}$ is transcendental over $\rm F_i\:.\ $ For example $\rm\ exp(x),\ log(x)\ $ are transcendental over $\rm\mathbb C(x)$ but $\rm\ exp(2\ log(x)) = x^2\ $ is not. Now, because $\rm\ F_{i} = F_{i-1}(t_{i})$ is transcendental it has particularly simple structure, viz. it is isomorphic to the field of rational functions in one indeterminate $\rm\:t_i\:$ over $\rm\ F_{i-1}\ $. In particular, this means that one may employ well-known rational function integration, techniques such as expansions into partial fractions. This, combined with a simple analysis of the effect of differentiation on the degree of polynomials $\rm\ p(t_i)$, quickly leads to the fundamental result of Liouville on the structure of antiderivatives, namely they must lie in the same field $\rm F$ as the integrand except possibly for the addition of constant multiples of log's over $\rm F$. Con esta estructura teorema de la mano, el trascendental caso se reduce a la primaria cálculos en función racional de los campos. Este trascendental en caso de que el algoritmo es tan simple que puede ser fácilmente comprendido por cualquier persona que ha llegado a dominar un primer curso de álgebra abstracta.
Por otro lado, el pleno de la regla algebraica caso de que el algoritmo requiere no trivial de los resultados de la teoría de funciones algebraicas. Aunque hay algunos sencillos caso especial de los algoritmos para la raíz cuadrada y cúbica raíces (Davenport, Trager) el algoritmo general requiere un profundo resultados acerca de los puntos de orden finito en abelian variedades más finitely generado de tierra de campos. Este algebraicas caso de que el algoritmo de integración fue descubierto por Robert Risch en 1969 - que hizo su Berkeley Tel. D. en este tema (en virtud de Max Rosenlicht).
Para una muy buena introducción a la teoría vea Max Rosenlicht Mensual en papel, disponible en JSTOR y también aquí. Esta exposición incluye una completa prueba de la estructura de Liouville teorema junto con una derivación de Liouville clásico criterio de $\rm\int f(z)\: e^{g(z)}\: dz\ $ to be elementary, for $\rm\: f(z),\: g(z)\in \mathbb C(x)$. Para los algoritmos ver Barry Trager de 1984 MIT tesis y Manual de Bronstein: Integración Simbólica I: Funciones trascendentes.
Descargo de responsabilidad: he implementado el algoritmo de integración en Macsyma (no el de mucha más edad Maxima) así que, tal vez debido a esta experiencia, a mi juicio, de la simplicidad puede ser un poco sesgada. Sin embargo, el hecho de que los resultados básicos se derivan en un puñado de páginas en Rosenlicht del papel de los rendimientos de pruebas independientes para tales afirmaciones.
