En la categoría de los espacios de Banach, donde los objetos son espacios de Banach y los morfismos son mapas lineares continuos, ¿qué existen coproductos? ¿Son la típica suma directa de espacios de Banach? ¿Si es así, acepta coproductos finitos e infinitos?
Respuesta
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Sí, los coproductos de dos % de espacios de Banach $(X,\|~\|_X)$y $(Y,\| ~ \|_Y)$ es $(X \oplus Y,\|~\|_{X\oplus Y})$ $\|(x,y)\|_{X \oplus Y} = \|x\|_X + \|y\|_Y$. Esto es sólo un ejemplo de una norma adecuada, normas equivalentes como por ejemplo $\sqrt{\|x\|_X^2 + \|y\|_Y^2}$ dan espacios de Banach isomorfos. Fácilmente se verifica la propiedad universal. Se deduce que existen coproductos finitos. Pero no existen coproductos infinitas. Yo he probado esto aquí recientemente para espacios de Hilbert, no encuentra la pregunta ahora mismo (alguien?). El mismo argumento se aplica aquí.
