Sistema de funciones trigonométrica

Question

Me gustaría resolver:

$ x +y+z=\frac{11\pi}{6} $

$ \sin(x)+\sin(y)+\sin(z)= \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)=\frac{1}{2} $

Después de la eliminación de $ z $ llego:

$ 2\sin(x)+2\sin(y)-\cos(x+y)-\sqrt{3}\sin(x+y)=\sqrt{3}\tag{1}$

$ 2\cos(x)+2\cos(y)+\sqrt{3}\cos(x+y)-\sin(x+y)=1\tag{2}$

También: $\sqrt{3}\times(1)+(2)$ da $ \cos(x-\frac{\pi}{3})+\cos(y-\frac{\pi}{3})-\sin(x+y)=1 $...

Mi intento:

$ \sin(x)+\sin(y)+\sin(z)=\sin(x+y+z+\frac{\pi}{2}) $

$ \sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-\sin(x+y+z+\frac{\pi}{2})=0 $

$(1)$: $ \sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})-\sin(\frac{x+y}{2}+\frac{\pi}{4})\cos(\frac{x+y+2z}{2}+\frac{\pi}{4})=0 $

$ \cos(x)+\cos(y)+\cos(z)-\cos(x+y+z+\frac{\pi}{2})=0 $

$ (2) $: $ \cos(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})+\sin(\frac{x+y+2z}{2}+\frac{\pi}{4})\sin(\frac{x+y}{2}+\frac{\pi}{4})=0 $

$(1)+(2)$: $ \cos(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2}-\frac{\pi}{4})+\sin(\frac{x+y}{2}+\frac{\pi}{4})\sin(\frac{x+y+2z}{2})=0 $

$ \cos(\frac{x+y}{2}-\frac{\pi}{4})(\cos(\frac{x-y}{2})+\sin(\frac{x+y+2z}{2}))=0 $

$ \cos(\frac{x+y}{2}-\frac{\pi}{4})(\sin(\frac{x-y}{2}+\frac{\pi}{2})+\sin(\frac{x+y+2z}{2}))=0 $

$ \cos(\frac{x+y}{2}-\frac{\pi}{4})\sin(\frac{x+z}{2}+\frac{\pi}{4})\cos(\frac{y+z}{2}-\frac{\pi}{4})=0 $

$ x+y=-\frac{\pi}{2} (\mod2\pi) $

$ x+z=-\frac{\pi}{2} (\mod2\pi) $

$ y+z=-\frac{\pi}{2} (\mod2\pi) $

Utilizando sólo estas ecuaciones para determinar el $ x,y,z $:

$ x=y=z=-\frac{\pi}{4} (\mod\pi) $ y el sistema no está satisfecho.

El uso de $ x+y+z=\frac{11\pi}{6} $ a determinar una de las tres cantidades:

$x=y=-\frac{\pi}{4} (\mod\pi) $, $ z=\frac{\pi}{3} (\mod\pi) $ o $x=z=-\frac{\pi}{4} (\mod\pi) $, $ y=\frac{\pi}{3} (\mod\pi) $ o $y=z=-\frac{\pi}{4} (\mod\pi) $, $ x=\frac{\pi}{3} (\mod\pi) $

Answer 1

Multiplicar la 2ª ecuación de $i$ y añadir la 3ª ecuación para obtener $$e^{ix}+e^{iy}+e^{iz}=e^{i\pi/3}$$ Ahora se puede argumentar que la geometría que para los tres números de módulo 1 para sumar a un número de módulo 1, uno de los sumandos debe ser el negativo de otro sumando (y por tanto el tercer sumando debe ser igual que el único número en el otro lado). A partir de ahí, es fácil.

Si no te gusta la geometría, se puede reescribir como $$e^{ix}+e^{iy}=e^{i\pi/3}-e^{iz}$$ then express the left side as $e^{es}\cos t$ and the right side as $e^{ui}\pecado v$ for appropriate $s,t,u,v$, and that should give you enough relations among $x,y,z$ a resolver el problema.

Si usted no ha aprendido acerca de exponenciales complejas, lo anterior no significa mucho para ti, pero la ventaja es que usted tiene algunas muy bonitas las matemáticas para mirar hacia adelante.