Un problema con respecto a la calulus funcional.

Question

Estoy atascado en un problema de relación funcional de cálculo.Alguien me puede ayudar? Aquí está el problema.

Deje $A$ ser un Espacio de Banach y $T$ ser un operador acotado en $A$. Dado que, $\sigma[T]-$ espectro de $T$ $ F_1 \cup F_2;$ donde $ F_1, F_2$ son disjuntas conjunto cerrado en el plano complejo. A continuación, mostrar que existen topológicamente subespacio complementado $A_1,A_2$ $A$ tal que $A_1,A_2$ son subespacio invariante para $T$ $\sigma(T|A_i)=F_i$ $i=1,2.$

Hasta ahora lo que he hecho es, que he tomado discontinuo conjunto abierto $G_i$ contiene $F_i$ y han optado $f_i= 1_{G_i}-$ la característica de la función en $G_i$, (que en realidad son analíticas en $G_1\cup G_2$). Luego he tomado $A_i$ como rango de la proyección de $f_i(T)$, utilizando el cálculo funcional para $T$.

el uso del espectro de asignación teorema se puede decir que, $\sigma(Tf_i(T))= F_i\cup$ {$0$}. Si mi suposición es correcta, entonces tengo que mostrar a $\sigma(Tf_i(T)|A_i)= F_i$. En esta etapa, necesito ayuda.

Answer 1

Si $0\in F_i$, se realiza. De lo contrario, como $F_i$ es compacto, existe $\delta>0$ tal que $|z|>\delta$ % todos $z\in F_i$. Entonces la función $g:z\mapsto zf_i(z)$ satisface todas las $|g(z)|\geq\delta$$z\in F_i$% y lo $h=1/g$es bien definido y analítica en $F_i$. Esto implica que el $Tf_i(T)|_{A_i}$ es invertible (con $h(T)$ inversa) y así $0\not\in\sigma(T|_{A_i})$.