¿Cuál es la noción de verdad utilizada en el teorema de incompletitud de Godel?

Question

La lógica de primer orden es completa y sólida. La noción de verdad que se utiliza aquí es la de modelo teórico.

Informalmente el teorema de incompletitud de Godels dice que para un lenguaje formal suficientemente fuerte hay verdades que no se pueden demostrar. ¿Cómo se codifica la verdad en el lenguaje? ¿Es esto realmente correcto? ¿Debería ser que hay afirmaciones que no se pueden demostrar ni refutar, es decir, que son indecidibles? ¿Significa esto que en realidad no tienen estatus de verdad?

Answer 1

"Verdadero" aquí significa "verdadero en el modelo estándar". Por ejemplo, el modelo estándar de la AP son los números naturales "reales". Estoy de acuerdo en que esto es confuso. Una forma más agnóstica del modelo para afirmar el teorema de incompletitud es que hay afirmaciones que son verdaderas en algunos modelos pero falsas en otros (por tanto, que no son ni demostrables ni refutables).

Answer 2

Los teoremas de incompletitud (para una teoría fija) tienen como supuesto que la teoría es consistente. Esta suposición puede formularse como una afirmación $C$ en el lenguaje de la aritmética de Peano. Mientras tanto, el primer teorema de incompletitud produce una sentencia de Gödel $G$ en el lenguaje de la aritmética de Peano que es independiente de la teoría.

La sentencia de Gödel $G$ es verdadera exactamente en el mismo sentido que la suposición de consistencia $C$ es cierto.

En otras palabras, tan pronto como se elabora un sentido en el que se piensa que $C$ es cierto, $G$ también será cierto en ese sentido. Hay muchos "sentidos" diferentes que se pueden utilizar aquí:

• Semánticamente: $C$ es cierto en el modelo estándar, y $G$ también es cierto en ese modelo.

• Discutiblemente: $C$ es verdadera, disquociativamente, como una afirmación sobre los números naturales, y también lo es $G$ .

• Formalmente: Si $C$ es demostrable en alguna metateoría razonable, $G$ también será demostrable en esa metateoría. Aquí cualquier metateoría al menos tan fuerte como PA es "razonable". De hecho, PA puede ser sustituida por una metateoría más débil como PRA ( aritmética recursiva primitiva ) o cualquier otra metateoría lo suficientemente fuerte como para demostrar el primer teorema de incompletitud.

Answer 3

En este hilo me preguntaba sobre lo que creo que son cuestiones similares de la verdad en "el modelo estándar" y la demostrabilidad.

Utilizaré el lenguaje del pequeño libro de Gensler El teorema de Godel simplificado.

Para lo que Gensler llama Sistema C, da un esquema de cómo construir un wff en el sistema C. El sistema C los símbolos son /, (, ), - , n (para una variable), nn (otra variable),...etc.).

También se definen los números de referencia para las fórmulas del sistema C (como los números de Godel).

Por ejemplo, el número de referencia de / es 1, el número de referencia de la variable n es 8, etc.

A continuación, Gensler da instrucciones para crear una fórmula llamada F que dice

(F) "No hay ninguna prueba del sistema C para el hijo de la fórmula del sistema C con referencia # n ".

Aquí n es una variable. Así que la fórmula del sistema C con referencia # n existe, llame a esa fórmula del sistema C XX, y F es la declaración de que el hijo del sistema C de XX, SonXX, no es un teorema en el sistema C).

F es una cadena de símbolos del sistema C. El hijo de F se obtiene tomando el número de referencia (un número entero real como 112278, etc.) para F, escribiendo ese número entero como la cadena del sistema C //.../ (con el número de referencia de F que aparecen muchos /) y sustituyendo cada ocurrencia la variable n en (F) por ese número ///.../.

El resultado es una nueva fórmula del sistema C, hijo de F, llamada G.

La interpretación del "modelo estándar" de G es entonces

(G) "No hay ninguna prueba del sistema C para el hijo de la fórmula del sistema C con referencia # igual a la referencia # de F".

En otras palabras, no hay ningún sistema C que demuestre la existencia de G.

Entonces Gensler y otras fuentes indican que esta interpretación estándar de G es verdadera, por lo que se trata de un enunciado verdadero de "aritmética ordinaria", para el que la fórmula correspondiente del sistema C no tiene prueba.

Me parece que lo que realmente se puede decir es esto:

Si asumes que la interpretación estándar de G es un enunciado verdadero en el modelo estándar ordinario, entonces la fórmula del sistema C correspondiente es una fórmula del sistema C indemostrable. Así que tienes un enunciado aritmético ordinario "verdadero" que no se puede demostrar en el sistema C, PORQUE has SUPUESTO que la versión del modelo estándar de G es verdadera.

Si asumes que la interpretación estándar de G es un enunciado falso en el modelo estándar ordinario, entonces la fórmula correspondiente del sistema C es una fórmula demostrable del sistema C. Así que tienes un enunciado aritmético ordinario "falso" que se puede demostrar en el sistema C, PORQUE has SUPUESTO que la versión del modelo estándar de G es falsa.

Pero, ¿cómo sabes que una de las dos afirmaciones "G es una afirmación verdadera en el modelo estándar ordinario" o "G es una afirmación falsa en el modelo estándar ordinario" debe ser válida?

¿No es lo mejor que puedes decir que SI puedes determinar que G fuera un enunciado verdadero en el modelo estándar ordinario" o "G es un enunciado falso en el modelo estándar ordinario" ENTONCES puedes sacar conclusiones sobre la no demostrabilidad o la demostrabilidad de G como fórmula del sistema C?