Paquete de líneas en un producto

Question

Sean X y T variedades proyectivas, con $H^1(\mathcal{O}_X)=0$ . Tome L un haz de líneas en el producto. Demostrar que para dos puntos cualesquiera $t,t'$ de T, los retrocesos $L_t, L_{t'}$ a $X\times t, X\times t'$ son haces de líneas isomorfos en X.

Estoy completamente atascado y ni siquiera entiendo cómo utilizar la hipótesis en cohomología. Si alguien publica una pista puedo tratar de elaborar.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un esquema proyectivo integral sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y suponer que $H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$ . Sea $T$ sea un esquema conexo de tipo finito sobre $k$ . Queremos demostrar que si $\mathscr{L}$ es una gavilla invertible en $X \times T$ entonces las láminas invertibles $\mathscr{L}_t$ en $X = X \times \{t\}$ son isomorfas, para todos los puntos cerrados $t \in T$ . Este es el contenido del ejercicio III.12.6(a) de Hartshorne, como se menciona en los comentarios anteriores.

Tenemos un esquema (de grupo) $\text{Pic}(X)$ que esencialmente parametriza los haces de líneas en $X$ (y que resulta ser una unión disjunta infinita de esquemas proyectivos, aunque eso no es terriblemente relevante). $H^1(X, \mathcal{O}_X)$ es el espacio tangente de $\text{Pic}(X)$ (en cada punto), por lo que si es $0$ se deduce que $\text{Pic}(X)$ es en realidad una unión disjunta de puntos (reducidos). Entonces $\mathscr{L}$ induce un morfismo $T$ a $\text{Pic}(X)$ que debe ser constante ya que $T$ está conectado y $\text{Pic}(X)$ es una unión disjunta de puntos. Como el morfismo $T$ a $\text{Pic}(X)$ es constante, las fibras $\mathscr{L}_t$ son todos isomorfismos (hay que tener un poco de cuidado - los morfismos $T$ a $\text{Pic}(X)$ no están en biyección con haces de líneas de $X \times T$ pero dos haces lineales cualesquiera que induzcan el mismo morfismo tendrán fibras isomorfas $\mathscr{L}_t$ ). Para más detalles sobre este material, consulte el libro "Néron models" aquí .

Bosch, Siegfried; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel. Modelos Néron. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas afines (3)], 21. Springer-Verlag , Berlín , 1990. x+325 pp.

Answer 2

Dejemos que $p:X \times T \to X$ y $q:X \times T \to T$ las proyecciones canónicas.

Pista 1: demuestre que para cada $t \in T$ existe un conjunto abierto $t \in U_t \subseteq T$ , de tal manera que todos los $\mathcal{L}_{t'}$ con $t' \in U_t$ son isomorfas a $\mathcal{L}_{t}$ .

Pista 2: para demostrarlo, considere $\mathcal{L}_0 = \mathcal{L}|_{X \times t}$ como un haz de líneas en $X$ y considerar $\mathcal{M} = (p^* \mathcal{L}_0)^{-1} \otimes \mathcal{L}$ . El haz de líneas $\mathcal{M}$ tiene $\mathcal{O}_X$ como la fibra sobre $t$ .

Pista 3: Utilizando la teoría de la semicontinuidad de Hartshorne demostrar, que $q_*\mathcal{M}$ es localmente libre en una cierta vecindad abierta de $t \in T$ . (aquí $H^1(X,\mathcal{O}_X) = 0$ se utiliza).

Pista 4: utilice el resultado de la pista 3 para demostrar que para todo $t'$ en un determinado barrio abierto $V$ de $t$ las fibras $\mathcal{M}|_{X \times t'}$ son isomorfas a $\mathcal{O}_X$ .

Si quieres ver una solución puedes mirar Álgebra conmutativa y geometría algebraica , p.392 (el libro está en alemán)