Sus conexiones sorprendentes favoritas en Matemáticas

Question

Hay ciertas cosas en las matemáticas que me han causado una grata sorpresa: cuando alguna parte de las matemáticas se relaciona de manera fundamental con otra, donde la conexión entre ambas es inesperada. El primer ejemplo que me viene a la mente es la demostración por parte de Furstenberg y Katznelson del teorema de Szemeredi sobre la existencia de progresiones aritméticas arbitrariamente largas en un conjunto de enteros que tiene densidad superior de Banach positiva, pero utilizando la teoría ergódica. Por supuesto, en los años transcurridos desde entonces, esta idea se ha consagrado y ya no puede considerarse sorprendente, pero ciertamente lo fue cuando se concibió por primera vez.

Otra conexión inesperada fue cuando Kolmogorov utilizó la noción de entropía probabilística de Shannon como una importante invariante en los sistemas dinámicos.

Entonces, ¿qué otras conexiones sorprendentes hay por ahí?

Answer 1

Por muy conocida que sea la conexión, no deja de sorprenderme el poder de la geometría analítica (desarrollada por Descartes y Fermat) para establecer conexiones entre las ideas geométricas y las algebraicas. Me parece extraordinario que tanta información geométrica (como por ejemplo en el caso de las secciones cónicas) pueda representarse de forma tan sucinta (mediante ecuaciones cuadráticas en dos variables). La geometría sugiere cosas para pensar en el álgebra y el álgebra sugiere cosas para pensar en la geometría. ¡Es simplemente increíble!

Answer 2

Mi sorpresa favorita, que tal vez sea la que ostenta el récord de tiempo que se tardó en unir las dos ideas, es la conexión entre los n-gons regulares y los primos de Fermat. Los griegos sabían cómo construir n-gonos regulares n-gons mediante regla y compás para n=3,4,5,6. Fermat introdujo números de la forma $2^{2^m}+1$ alrededor de 1640 en la creencia errónea de que eran primordiales para todos los m. Luego, en 1796, Gauss descubrió cómo construir el 17-gon regular, y unos años más tarde años más tarde demostró que el n de un n-gon construible es el producto de alguna potencia de 2 por distintos primos de Fermat.

Answer 3

El resultado de Quillen de que el anillo de clases de cobordismo de las variedades (establemente) complejas es isomorfo al anillo de Lazard (es decir, el anillo universal que clasifica las leyes formales de grupo). Esto me parece muy misterioso. ¿Por qué habrían de tener algo que ver las clases de cobordismo de las variedades complejas con la geometría algebraica de las leyes formales de grupo? Sin embargo, ésta ha sido una de las observaciones más importantes para la moderna teoría de la homotopía. Es la fuerza impulsora de la Homotopía Estable Cromática, que intenta construir un diccionario entre la geometría algebraica de las FGL y las estructuras presentes en la categoría de homotopía estable. Es sorprendente el éxito que ha tenido.

Answer 4

Voy a reciclar una que mencioné en un hilo la semana pasada, conectando un problema elemental sobre polinomios con la clasificación de grupos simples finitos:

Definición: Un polinomio $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ es indecomponible si siempre que $f(x) = g(h(x))$ para los polinomios $g$ , $h$ Uno de los $g$ o $h$ es lineal.

Teorema. Sea $f, g$ sean polinomios indecomponibles no constantes sobre $\mathbb C$ . Supongamos que $f(x)-g(y)$ factores en $\mathbb{C}[x,y]$ . Entonces, o bien $g(x) = f(ax+b)$ para algunos $a,b \in \mathbb{C}$ o $$\operatorname{deg} f = \operatorname{deg} g = 7, 11, 13, 15, 21, \text{ or } 31,$$ y cada una de estas posibilidades se da.

La prueba utiliza la clasificación de los grupos simples finitos [!!!] y se debe a Fried [1980, en las actas de la conferencia de Santa Cruz de 1979 sobre grupos finitos], tras una reducción del problema a un enunciado teórico de grupos/Galois de Cassels [1970]. [W. Feit, "Algunas consecuencias de la clasificación de los grupos simples finitos". 1980.]

Answer 5

De un ensayo de Arnol'd :

Jacobi señaló, como la propiedad más fascinante de las matemáticas, que en ellas una misma función controla tanto las presentaciones de un número entero como una suma de cuatro cuadrados como el movimiento real de un péndulo.