¿Qué significa un símbolo integral con un círculo?

Question

He visto con frecuencia este símbolo utilizado en libros avanzados de física:

$$\oint$$

¿Qué significa el círculo sobre el símbolo de la integral? ¿Qué tipo de integral denota?

Answer 1

Es una integral sobre una línea cerrada (por ejemplo, un círculo), ver integral de línea.

En particular, se utiliza en análisis complejo para integrales de contorno (es decir, líneas cerradas en un plano complejo), ver por ejemplo el ejemplo señalado por Lubos.

También se utiliza en el espacio real, por ejemplo, en electromagnetismo, en ley de inducción de Faraday (parte de las ecuaciones de Maxwell, escrita en forma integral):

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \int_{\Sigma} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{A} $$ diciendo que el voltaje generado (una integral del campo eléctrico a lo largo de un círculo) es igual a la derivada temporal del flujo magnético.

Answer 2

Es una integral sobre un contorno cerrado (que es topológicamente un círculo). Un ejemplo de Wikipedia: $$ \begin{align} \oint_C {1 \over z}\,dz & {} = \int_0^{2\pi} {1 \over e^{it}} \, ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} 1 \,dt \\ & {} = \Big[t\Big]_0^{2\pi} i=(2\pi-0)i = 2\pi i, \end{align} . $$

Answer 3

Básicamente significa que estás integrando cosas sobre un bucle. Por ejemplo, un círculo con un elemento $\text{d} \textbf{l}$ si haces $\oint{\text{d} \textbf{l}}$ te dará la circunferencia del círculo.