¿Cómo puedo demostrar que $\mathbb R^\omega$ con la topología de caja (es decir, las bases son de la forma $\prod_n G_n$ , donde $G_n$ están abiertas en $\mathbb R$ ) es completamente regular (es decir, dado un punto $a$ y un conjunto cerrado $F$ se puede encontrar una función continua $f:\mathbb R^\omega \to [0,1]$ tal que $f(a)=0$ y $f(F)=1$ ). Gracias.
Nota: No se sabe si $\mathbb R^\omega$ con la topología de caja es Normal.
Viendo que no hay una respuesta elaborada, he decidido intentarlo.
Lema : Si $h:\mathbb{R}^\omega\to\mathbb{R}^\omega$ (topologías de caja) se define por $h(x_1,x_2,...):=(a_1x_1+b_1,a_2x_2+b_2,...)$ donde $a_i>0$ entonces $h$ es un homeomorfismo. La prueba es aquí .
Prueba principal : Dejemos que $x\in \mathbb{R}^\omega$ y $A$ es un subconjunto cerrado que no contiene $x$ . Por lema, podemos WLOG suponer que $x$ es el origen. Además, podemos encontrar un elemento base de la forma $(-c_1,c_1)\times(-c_2,c_2)\times...$ que no intersecte el subconjunto cerrado $A$ . Por el lema de nuevo, podemos WLOG suponer que $c_i=1$ para todos $i$ .
Ahora, $\mathbb{R}^\omega$ en cambio, bajo la topología uniforme es metrizable y, por tanto, completamente regular (de hecho, normal). Dado el origen y el conjunto cerrado $C:=\mathbb{R}^\omega - ball_0(1)$ podemos encontrar una continua $f:\mathbb{R}^\omega\to[0,1]$ tal que $f(0)=0$ y $f(C)=1$ . Como la topología de caja es más fina que la topología uniforme, la misma $f$ es continua si $\mathbb{R}^\omega$ se le da, en cambio, la topología de caja.
Por último, dado que $ball_0(1)\subseteq(-1,1)^\omega$ tenemos $A\subseteq C$ así que $f$ es nuestra función continua deseada para demostrar que $\mathbb{R}^\omega$ bajo la topología de caja es completamente regular.
Nota: : El lema y esta demostración se pueden generalizar fácilmente al caso en que tengamos un conjunto de índices arbitrario $J$ en lugar de $\omega$ .
En primer lugar, basta con considerar únicamente el caso en que $a = (0, 0, \dots)$ y el barrio abierto $(-1,1)^\mathbb{N}$ de $a$ es disjunta de $F$ (¿por qué?).
Sugerencia: Ahora, habiendo reducido el caso general a éste, observe que la topología uniforme sobre $\mathbb R^\mathbb{N}$ es más gruesa que la topología de caja. Por lo tanto, cualquier función continua en $\mathbb R^\mathbb{N}$ en la topología uniforme también es continua con respecto a la topología de caja.
¿Cuál sería una opción canónica para su función?
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Para problemas como estos no hay razón para no poner toda la pregunta en el título.
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Se sabe desde 1972 que la CH implica que $\square^\omega\mathbb{R}$ no es sólo normal, sino paracompacto: M. E. Rudin, El producto de caja de un número contable de espacios métricos compactos , Topología general y aplicada 2 (1972), 293-298. MR 48:2969.