¿Necesariamente tenemos que $\int g\,d\mu_n \to \int_0^1 g\,dx$?

Question

Sea $\mathcal{B}$ el Borel $\sigma$-Álgebra en $[0, 1]$. Supongamos que $\mu_n$ son medidas finitas en $([0, 1], \mathcal{B})$ tal que $\int f\,d\mu_n \to \int_0^1 f\,dx$ $f$ sea una función continua en $[0, 1]$ valor real. Supongamos que $g$ es una función medible acotada tal que el conjunto de discontinuidades de $g$ tiene medida $0$. Tenemos que %#% $ #%

Answer 1

Desde $\int f \, d\mu_n \to \int_0^1 f(x) \, \lambda(dx)$ continuas acotadas funciones $f$, sabemos que $\mu_n$ converge débil a $\lambda|_{[0,1]}$. Ahora sigue directamente del teorema de la baúl de viaje que $$\int f \, d\mu_n \to \int_0^1 f(x) \, \lambda(dx)$$ for all bounded measurable functions $ f: [0,1] \to \mathbb{R}$ with $\lambda (D_f) = 0 $ where $ D_f $ denotes the set of discontinuity points of $f # $.

Para una prueba ver por ejemplo este artículo, teorema 1.20.