el fórmula de Zassenhaus /Baker-Campbell-Hausdorff para coseno.

Question

Esta pregunta se refiere a la expansión de la no-conmutativa álgebra $[X,Y] \neq 0$ por dos operadores de $X,Y$. Uno puede pensar de $X$ $Y$ como algunas de las matrices.

Si $[X,Y] = 0$, tenemos

$$e^{t(X+Y)}= e^{tX}~ e^{tY}$$

Si $[X,Y] \neq 0$, sabemos que el Zassenhaus fórmula o el Panadero–Campbell–Hausdorff fórmula: $$e^{t(X+Y)}= e^{tX}~ e^{t} ~e^{-\frac{t^2}{2} [X,Y]} ~ e^{\frac{t^3}{6}(2[Y,[X,Y]]+ [X,[X,Y]] )} ~ e^{\frac{-t^4}{24}([[[X,Y],X],X] + 3[[[X,Y],X],Y] + 3[[[X,Y],Y],Y]) } \cdots$$

De esta manera se expresa $e^{t(X+Y)}$ en términos de$e^{tX}$$e^{tY}$, y los conmutadores $[X,Y]$.

Pregunta: ¿tenemos una forma similar a $\cos(A+B)$ al $[A,B]=C \neq 0$? (Podemos tomar $[C,A]=[C,B]=0$ para el caso más simple para extraer el primer fin de plazo.)

Si $[A,B]=0$, tenemos $$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B) -\sin(A)\sin(B).$$

Si $[A,B]=C \neq 0$, ¿tenemos alguna expresión similar como el Zassenhaus fórmula o el Panadero–Campbell–Hausdorff fórmula: $$\cos(A+B)=\cos(A)\cos(B) \dots-\sin(A)\sin(B) \dots+ \dots$$

Podemos expresar $\cos(A+B)$ en términos de $\cos(A)$,$\cos(B)$,$\sin(A)$,$\sin(B)$ y algunas de las funciones de $C$?

Answer 1

Me parece que eso si $[A,B]=C$ $[C,A]=[C,B]=0$, será un caso simple.

Tenemos %#% $ #%

and $$e^{A+B}=e^A e^B e^{-\frac{1}{2}[A,B]}$$ $$\cos(A+B)=\frac{e^{i(A+B)}+e^{-i(A+B)}}{2}=\frac{e^{iA}e^{iB}e^{\frac{1}{2}[A,B]}+e^{-iA}e^{-iB}e^{\frac{1}{2}[A,B]}}{2}$$

Observe que $$=e^{\frac{1}{2}[A,B]}\frac{e^{iA}e^{iB}+e^{-iA}e^{-iB}}{2}=e^{\frac{1}{2}[A,B]}\big(\cos(A)\cos(B) -\sin(A)\sin(B)\big).$ es cierto. y note que utilizamos la condición $\frac{e^{iA}e^{iB}+e^{-iA}e^{-iB}}{2}=\cos(A)\cos(B) -\sin(A)\sin(B)$ $[A,B]=C$.

Por lo tanto mi respuesta es $[C,A]=[C,B]=0$ $ hasta términos de orden superiores cuando $$\cos(A+B)=e^{\frac{1}{2}[A,B]}\big(\cos(A)\cos(B) -\sin(A)\sin(B)\big)$ $[A,B]=C$.

¿Tal vez alguien más puede completar el cómputo de término de orden superior?