La definición de la planta de energía del estado de QFT

Question

• Me gustaría saber de alguna discusión general sobre cómo es el estado del suelo y su energía se define en QFT y ¿cómo ir sobre la búsqueda de ella. (..al menos en los casos más sencillos que he visto el uso de Bogulibov transformación de la teoría parecerse a un campo libre, la teoría para ser capaz de identificar el vacío - pero, ¿cada teoría tiene una generalizada Bogulibov transformación?..)

Para iniciar permítanme señalar un determinado formalismo que estoy confundido.

Si uno toma el Lagrangiano como $L = \frac{1}{2}\left(\partial _\mu \phi\right)^2 - V(\phi)$, a continuación, en una ampliación de los poderes de $\hbar$ da el primer término de la función de partición como, $Z \approx \frac{1}{\sqrt{\mathrm{det}\left[-\partial^2 - V^{\prime\prime}\left(\phi_c\right)\right]}} e^{iS\left[\phi_c\right]}$ donde $S$ es la acción de la teoría y de la $\phi _c$ es la clásica extrema de esa acción.

Entonces uno ve que si $E_0$ es la energía de la solución clásica y la acción es evaluada durante un intervalo de tiempo $T$, entonces uno tiene la relación $S\left[\phi_c\right] = -T\,E_0$

En los pasos de la anterior identidad que se quiere definir $E_G$ como el verdadero cuántica groundstate energía como $E_G = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{i \ln Z}{T}$.

Si uno utiliza la definición anterior para el mismo orden de perturbación como $Z$ se da y se reemplaza el valor de $E_0$ antes de que uno se toma el límite de$T \rightarrow \infty$, entonces uno tiene la relación,

$E_G \approx E_0 - \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{i}{2T} \ln \left\{ \det \left[-\partial ^2 - V^{\prime\prime}\left(\phi_c\right)\right]\right\}$

• Ahora no estoy seguro de cómo interpretar el segundo término de la expresión anterior ya que, ingenuamente, que parece ir a $0$ desde el determinante no depende del intervalo de tiempo. Pero supongo que estoy equivocado y me gustaría saber cómo al menos de esta manera de pensar de las obras.

Answer 1

Mi respuesta está basada en el libro "la teoría Cuántica de campos en una cáscara de nuez, A. Zee, en el Capítulo IV.3 : Potencial Efectivo"

Tomar un escalar campo de la teoría de la $(\phi)$, cuando se tiene un clásico potencial de $V(\phi)$, usted puede encontrar el estado de V. E. V. (vacío expectativa de valor) $\phi_0$ al minimizar la potencial $V(\phi)$. Pero las fluctuaciones cuánticas cambiar este potencial, por lo que para calcular el modifyed estado de V. E. V. $\phi_{eff}$, usted primero tiene que calcular la modifyed potencial de $V_{eff}(\phi)$.

Definir $W(J) = i log Z(J)$, Usted tiene V. E. V. $\phi(x) = \frac{\delta W(J)}{\delta J(x)}$ (un ejemplo particular de la función de Green obtenidos por diffentiating $W$ por el origen de $J$ repetidamente). Mediante el uso de una transformación de Legendre, definir $\Gamma(\phi) = W(J) - \int d^4x J(x) \phi(x)$. Tenga en cuenta que hay un implicite dependencia de $J$$\phi$, y ha $-J(x) = \frac{\delta \Gamma(\phi)}{\delta \phi(x)}$.

Usted puede definir $V_{eff}$: $\Gamma(\phi) = \int d^4x (- V_{eff}(\phi) + Z(\phi) (\partial\phi)^2) + ...$, que es justifyed porque se puede demostrar que los $V^\prime_{eff}(\phi) = J$ (con rigor al $\phi$ $J$ no dependen de x). Esto significa, que sin el código fuente, $V^\prime_{eff}(\phi) = 0$, lo $V_{eff}$ es la correcta potencial que, minimizado, da el estado del suelo.

Con el paso de descenso de aproximación applyied a $Z$, alrededor de el paso descenso del punto de campo $\phi_s$ donde $V^{\prime}(\phi_s) = 0$ va a encontrar, con explícita $\hbar$: $$Z(J) = \int D\phi\;e^{(i/\hbar)[S(\phi)+ J\phi]}$$ $A$Z(J) \aprox e^{i/\manejadores)[S(\phi_s)+ J\phi_s]} \int D\phi\;e^{i/\manejadores)\int d^4x\,\frac{1}{2} [(\partial\phi)^2) - V^{\prime\prime}(\phi_s)\phi^2]}$$ En la expresión anterior, la nueva integración de la variable es $\phi= \phi-\phi_s$. $$Z(J) \approx e^{(i/\hbar)[S(\phi_s)+ J\phi_s] - \frac{1}{2} (Tr\, log (\partial^2 +V^{\prime\prime}(\phi_s)) - Tr\, log (\partial^2))}$$ Tenga en cuenta que la aparición del término $Tr\, log (\partial^2))$ puede ser visto como un renormalization factor.

$$W(J) = S(\phi_s) + J\phi_s + i\frac{\hbar}{2} (Tr\, log (\partial^2 +V^{\prime\prime}(\phi_s)) - Tr\, log (\partial^2)) +O(\hbar^2)$$ $$\Gamma(\phi) = S(\phi) + i\frac{\hbar}{2} (Tr\, log (\partial^2 +V^{\prime\prime}(\phi)) - Tr\, log (\partial^2)) +O(\hbar^2)$$

Con $\phi$ independiente de x, podemos escribir : $$Tr\, log (\partial^2 +V^{\prime\prime}(\phi)) = \frac{1}{(2\pi)^4}\int d^4x \int d^4k \,\,log \frac{(-k^2 + V^{\prime\prime}(\phi))}{-k^2}$$

Así que, finalmente, por la definición de $V_{eff}(\phi)$ a partir de $\Gamma(\phi)$ $$V_{eff}(\phi) = V(\phi) - i\frac{\hbar}{2} \frac{1}{(2\pi)^4} \int d^4k \,\,log \frac{(k^2 - V^{\prime\prime}(\phi))}{k^2} + O(\hbar^2)$$

En la práctica, esta integral es cuadráticamente divergentes, por lo que usted tiene que poner un límite de $\Lambda$, y se obtiene : $$V_{eff}(\phi) = V(\phi) + \frac{\Lambda^2}{32\pi^2}V^{\prime\prime}(\phi) - \frac{1}{64\pi^2}[V^{\prime\prime}(\phi)]^2 log\frac{e^{1/2}\Lambda^2}{V^{\prime\prime}(\phi)}$$ Así, al minimizar la potencial efectivo $V_{eff}$, usted puede encontrar el nuevo estado de V. E. V. $\phi_{eff}$.

Ahora, en 3+1 dimensiones, un escalar como $\phi_{eff}$ tiene la dimensión de una masa (o energía), así que por algún mecanismo de Higgs, puede dar masa a la vuelta 1 bosones de gauge, pero el mínimo del potencial efectivo $V_{eff}$ y la efectiva V. E. V. campo $\phi_{eff}$ son 2 cosas diferentes.