Soy una estudiante universitaria, estudiante de matemáticas, y al mismo tiempo estudiar cartesiano categorías cerradas que me encontré con un problema que no podía resolver:
Supongamos que tenemos un local pequeño) cartesiana cerrada categoría $C$, y vamos a denotar la exponencial de a $a, b$ $b^a$ y el terminal de objeto como $1$. Ya sabemos $C$ es un c.c.c., hay un bijection entre el hom-conjuntos de $Hom(a \times b, c)$$Hom(a, c^b)$; en particular, si establecemos $a = 1$, podemos denotar los elementos de los hom-establecer $Hom(1, c^b)$ $[f]$ algunos $f$ en el hom-establecer $Hom(b, c)$.
La definición de la exponencial objeto en $C$ también nos da un mapa $\lambda :Hom(a \times b, c) \to Hom(a, c^b)$. La evaluación de morfismos en realidad es la imagen bajo este mapa de la identidad de morfismos, la fijación de curso $a = b^c$. El origen y el destino hom-conjuntos tienen un "analógico" en algunos de los objetos de $C$$c^{a \times b}$${c^b}^a = ({c^b})^a$.
Mi pregunta es esta: ¿el mapa de $\lambda$ tiene un "analógico" en algunos de morfismos en el hom-establecer $Hom(c^{a \times b}, {c^b}^a)$?
De la misma manera, como $C$ es cartesiana cerrada, tenemos un mapa $$\times: Hom(c, a) \times Hom(c, b) \to Hom(c, a \times b)$$ que envía a $(f, g)$$f \times g$; el origen y el destino de los conjuntos de este mapa tiene un "analógico" en $b^c \times a^c$$(a \times b)^c$; este mapa tiene un "analógica", en la correspondiente hom-set?
edit: soy consciente de y lo siento por el horror que viene con la última fórmula: "yo solía $\times$ como el nombre del mapa, para denotar el producto cartesiano de a $Set$ de los dos hom-conjuntos y para la interna del producto de la categoría $C$. Pero no "abusar" de la $\times$ el símbolo ocultar el punto que estoy tratando de hacer aquí, así que por favor acepte mis disculpas por eso. La fórmula podría ser escrito como $$\psi: Hom(c, a) \times Hom(c, b) \to Hom(c, a \times_C b)$$ y $\psi$ es el mapa que estoy preguntando acerca de.
edit 2: después de un poco de "diagrama de chaising" en conjunto, creo que vino para arriba con una solución (gracias a Omar Antolìn-Camarena para señalar de una manera muy fácil para resolver el problema de la curryfication mapa, $\lambda$) para el curryfication y el producto de los mapas. La base de la idea que estoy siguiendo es el uso de la Yoneda lema para demostrar que, si el hom-functors $Hom(-, a) \cong Hom(-, b)$ son isomorfos (es decir, que el hom-conjuntos de $Hom(x, a) \cong Hom(x, b)$ son isomorfos en $Set$, de forma natural en $x$) el isomorfismo debe plantear desde un isomorfismo en $C$. (Esto es realmente una consecuencia de la Yoneda lexema, o he entendido mal este importante resultado?) Como consecuencia, se puede demostrar que $$Hom(w, z^{x \times y}) \cong Hom(w \times (x \times y), z) \cong Hom((w \times x) \times y, z) \cong Hom(w \times x, z^y) \cong Hom(w, {z^y}^x)$$ y el isomorfismo entre la primera y la última hom-establece que deben levantar de un isomorfismo en $C$ $Hom(z^{x \times y}, {z^y}^x)$
De la misma forma, podemos mostrar que (el uso de la característica universal del producto) $$Hom(w, y^x \times z^x) \cong Hom(w, y^x) \times Hom(w, z^x) \cong Hom(w \times x, y) \times Hom(w \times x, z) \cong Hom(w \times x, y \times z) \cong Hom(w, (y \times z)^x)$$
de nuevo, llegamos a la conclusión de que debe haber un isomorfismo en $C$ a partir de la cual el isomorfismo en $Set$ entre el primer y el último hom-conjuntos debe haber aumentado, dictada por la Yoneda lema.
Es esto un error, y si es así ¿por qué? Cualquier ayuda será muy apreciada. También, me parece que el muy limpia e intuitiva solución dada por Omar Antolìn-Camarena no trabajo para encontrar la segunda isomorfismo; pero, no tengo ni idea de cómo (des)probar esta afirmación de la mina.
edit 3: se ha corregido los errores en el argumento de $y^x \times z^x$.
También me costó un poco tratando de probar la connaturalidad de la isomorphisms; ya que a mí me parece que la prueba no es totalmente sencillo voy a tratar de resumir los puntos clave, con el fin de ayudar a quien puede venir a través de este post teniendo este mismo problema y comprobar si tengo algo mal:
la connaturalidad de la exponencial se desprende directamente de la igualdad de $\lambda_{x}^{-1}(f) = Eval \circ (f \times Id_x)$
la connaturalidad para el producto que se desprende directamente de la igualdad $\times^{-1}(f) = (\pi_1 \circ f, \pi_2 \circ f)$
el bijection entre lo natural isomorphisms en $Nat(Hom(-, a), Hom(-, b))$ y isomorphisms en $Hom(a, b)$ es obtenido por chaising la identidad en una connaturalidad cuadrado construido sobre una de morfismos $f : b \to a$ y la aplicación de las propiedades de los naturales isomorphisms.
A partir de estos 3 hechos podemos concluir que este tipo de morfismos existen, son isomorphisms y son la imagen de la natural isomorphisms de la identidad de morfismos.
