Umbral de cálculo con índices negativos (y facultades)

Question

Podemos hacer umbral de cálculo con índices negativos (y competencias)? Podemos escribir $a_{-n} \equiv a^{-n}$ o $L[a_{-n}] = a^{-n}$ donde $L$ es un funcional lineal y $n$ no debe ser negativo?

La convención común es el uso de $\mathbb N$ o $\mathbb N \cup \{0\}$ al índice de secuencias, pero podemos utilizar cualquier contables conjunto, decir $\mathbb Z$ y redefinir nuestra secuencia: $a_{-n} \equiv {b_m}$ con $$ m = \begin{cases} 2n - 1& \text{if } n > 0\\ -2n& \text{if } n \leq 0\\ \end{casos}. $$ Sin embargo, ¿esto significa que puede utilizar índices negativos, y escribir $a_{-n} \equiv a^{-n}$ o $L[a_{-n}] = a^{-n}$ es justificado?

Favor de proporcionar referencias.

Answer 1

No lo había visto, pero ¿por qué no? En el peor de los casos, usted puede definir $b_n = a_{-n}$ y seguir adelante. Binomial negativo de los coeficientes de hacer muy buen sentido, de una manera extraña los números de Stirling de primera y segunda clase son "índices negativos" de uno a otro.