Ayuda para encontrar todos los elementos de orden 2 en $S_6$.

Question

Estoy tratando de encontrar todos los elementos de orden 2 en $S_6$. Estoy tratando de entender cómo lograr esto. Aquí está mi intento. Sólo necesitamos contar el número de permutaciones de las formas

$(a_1 a_2)\\ (a_1a_2)(a_3a_4)\\ (a_1a_2)(a_3a_4)(a_5a_6)\\ $

En el primer caso vemos que no se $6 * 5$ pares, pero estamos contando cada par dos veces porque $(12)=(21)$. Así que nos dividimos por $2$ llegar, $15$.

En el segundo caso tenemos, de una manera similar $$\frac{6*5}{2} * \frac{4*3}{2}$$ pero desde ciclos disjuntos viaje, estamos contando con la permutación de la forma $(12)(34)$ $(34)(12)$ distinto cuando no están, por lo dividimos por 2 de nuevo consiguiendo:

$$\frac{6*5*4*3}{2*2*2} = 45.$$

Para el caso 3 obtenemos $$\frac{6*5}{2} * \frac{4*3}{2} * \frac{2*1}{2}$$

pero puesto que ahora tiene 3 ciclos que conmutan debemos dividir por $3$ llegar.

$$\frac{6*5 *4*3*2*1}{2*2*2*3} = 6*5 = 30.$$

La suma de todas estas permutación de los rendimientos de $15 + 45 + 30 = 90$. Sin embargo, esta es una numeración impar problema en mi libro de texto, y la respuesta es dada como $75$. He mirado por encima de mi cálculo de alrededor de 3 veces ahora, ¿dónde está mi error?

Answer 1

Las únicas posibilidades son transposiciones, productos de dos disjuntas transposiciones y productos de tres distintos transposiciones.

Ya has contado los dos primeros tipos correctamente.

Para los productos de tres distintos transposiciones, hay ${6\choose 2} {4\choose 2}{2\choose 2}$ ordenado de secuencias de tales transposiciones, pero desde que desplazarse hay seis maneras diferentes de organizar cada trío (pero esos seis maneras son todos el mismo elemento de $S_6$). Dividiendo por 6, se obtiene el valor de 15 (en lugar de 30).

Answer 2

Su problema es con tu 3er caso. Usted tiene que dividir por $3!$, no $3$.

Answer 3

Esto es sólo un pequeño programa hecho en la BRECHA de medio ambiente para la búsqueda de los elementos que otras respuestas señalar los principales puntos teóricos acerca de ellos.

gap> G:=SymmetricGroup(6);;
gap> e:=Elements(G);;
gap> f:=Filtered(e,t->Order(t)=2);

[ (5,6), (4,5), (4,6), (3,4), (3,4)(5,6), (3,5), (3,5)(4,6), (3,6), 
(3,6)(4,5), (2,3), (2,3)(5,6), (2,3)(4,5), (2,3)(4,6), (2,4), (2,4)(5,6), 
(2,4)(3,5), (2,4)(3,6), (2,5), (2,5)(4,6), (2,5)(3,4), (2,5)(3,6), (2,6), 
(2,6)(4,5), (2,6)(3,4), (2,6)(3,5), (1,2), (1,2)(5,6), (1,2)(4,5), 
(1,2)(4,6), (1,2)(3,4), (1,2)(3,4)(5,6), (1,2)(3,5), (1,2)(3,5)(4,6), 
(1,2)(3,6), (1,2)(3,6)(4,5), (1,3), (1,3)(5,6), (1,3)(4,5), (1,3)(4,6), 
(1,3)(2,4), (1,3)(2,4)(5,6), (1,3)(2,5), (1,3)(2,5)(4,6), (1,3)(2,6), 
(1,3)(2,6)(4,5), (1,4), (1,4)(5,6), (1,4)(3,5), (1,4)(3,6), (1,4)(2,3), 
(1,4)(2,3)(5,6), (1,4)(2,5), (1,4)(2,5)(3,6), (1,4)(2,6), (1,4)(2,6)(3,5), 
(1,5), (1,5)(4,6), (1,5)(3,4), (1,5)(3,6), (1,5)(2,3), (1,5)(2,3)(4,6), 
(1,5)(2,4), (1,5)(2,4)(3,6), (1,5)(2,6), (1,5)(2,6)(3,4), (1,6), 
(1,6)(4,5), (1,6)(3,4), (1,6)(3,5), (1,6)(2,3), (1,6)(2,3)(4,5), 
(1,6)(2,4), (1,6)(2,4)(3,5), (1,6)(2,5), (1,6)(2,5)(3,4) ]

gap> Size(f);
                                      75