El uso de la geometría algebraica en la comprensión de la total del grupo de Galois de la racional

Question

Un profesor mío, comentó en clase que: "Las herramientas a través de la cual entendemos el total de Galois grupo de los racionales proviene de la geometría algebraica".

Alguien podría arrojar algo de luz sobre este comentario, o me acaba de dar la referencia?

Answer 1

Una de las maneras en que uno de los estudios que el grupo de Galois $G_\mathbf{Q}=\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})$, como con cualquier grupo, es mediante el estudio continuo de las representaciones de $\rho:G_\mathbf{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_n(F)$ donde $F$ es algunos topológico de campo (o incluso un topológico anillo). Este es un Galois representación.

Uno especialmente interesante,$F$$\overline{\mathbf{Q}}_p$, el algebraicas que se cierre el campo de la $p$-ádico números (la imagen de una continua representación de $G_\mathbf{Q}$ con valores en $\mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{Q}}_p)$ realmente tierras en $\mathrm{GL}_n(E)$ finita extensión de $E$ $\mathbf{Q}_p$ dentro de la algebraicas de cierre, por lo que es equivalente al estudio de las representaciones sobre tales finito de extensiones). Es especialmente interesante debido a la topología de $\mathrm{GL}_n(\overline{\mathbf{Q}}_p)$ es bastante compatible con la profinite grupo $G_\mathbf{Q}$, mientras que, al $F=\mathbf{C}$, un Galois representación en $\mathrm{GL}_n(\mathbf{C})$ debe tener imagen finita para topológico razones. Estos se denominan $p$-ádico representaciones de Galois. Ejemplos de tales representaciones surgen a partir de la geometría algebraica de la siguiente manera: si $X$ es un buen suave esquema sobre$\mathbf{Q}$, $p$- ádico etale cohomology $H^d_{\mathrm{et}}(X_{\overline{\mathbf{Q}}},\overline{\mathbf{Q}}_p)$ es finito-dimensional $\overline{\mathbf{Q}}_p$-espacio vectorial con una acción continua de $G_\mathbf{Q}$. Un irreductible Galois representación se dice que provienen de la geometría algebraica si es isomorfo a un irreductible subquotient de (a Tate giro de) algunos de estos etale cohomology grupo. Ejemplos de representaciones de Galois que provienen de la geometría algebraica son las $p$-ádico representaciones conectado por Eichler-Shimura y Deligne clásica cuspidal newforms de peso $k\geq 2$.

Hay una famosa conjetura (la Fontaine-Mazur conjetura) que afirma que una irreductible $p$-ádico Galois representación que es "geométrico" proviene de la geometría algebraica en el sentido anteriormente. La noción de un geométricas $p$-ádico Galois representación es técnico, pero a grandes rasgos significa un $p$-ádico Galois representación que parece que viene de la geometría algebraica (supongo, aunque para ser honesto, yo no tengo mucha intuición para el de Rham de la propiedad, que es una de las condiciones en la definición del término "geométrica", y hay otros en este sitio que podría explicar mucho mejor que yo). Se sabe que Galois representaciones que provienen de la geometría algebraica son geométricos, y en muchos casos de lo contrario se han demostrado para$\mathrm{GL}_2$$\mathbf{Q}$, y en algunos totalmente real campos (creo). Esta es todavía una enorme área de investigación activa en la teoría de números.

Answer 2

En realidad esto se refiere a un programa grande en la aritmética geometría algebraica. Original de las referencias son Grothendieck del SGA, Esquisse d'un programa y La Longue Marche à travers la théorie de Galois (sólo un par de miles de páginas...). Un reciente referencia es Szamuely del libro de Galois grupos y fundamental de los grupos. Específicamente las secciones 4.7 y 5.6 podría ser de su interés. Si $k$ es un campo y $X$ es una variedad más de $k$, entonces no es un homomorphism desde la más absoluta Galois grupo de $k$ en el grupo de exterior automorfismos de la étale grupo fundamental de la $X$ (inducida por la fundamental de la secuencia exacta). Belyi del Teorema implica que este homomorphism es inyectiva de a $k=\mathbb{Q}$. Así, tenemos un montón de representaciones geométricas de la absoluta Galois grupo de $\mathbb{Q}$. Esto también está relacionado con Dessins d'enfants y la Grothendieck-Teichmüller grupo. Ni siquiera me voy a intentar resumir estos fascinantes y teorías sofisticadas. En lugar de ello me refiero a MO/1909 y MO/64065.