$E=mc^2$ asemeja a la fórmula de la energía cinética?

Question

El más simple de la ecuación de expresar la masa–energía de equivalencia es la famosa $E=mc^2$ donde $c$ representa la velocidad de la luz. Compare esto con $E_K = \frac{1}{2}mv^2$.

Desde $E=mc^2$ puede ser aplicado al resto de la masa ($m_0$) y el resto de la energía ($E_0$) para mostrar su proporcionalidad como $E_0=m_0c^2$, me pregunto si esta semejanza es sólo una coincidencia, creado por la necesidad de cualquier ecuación homogénea para las unidades, o son los dos ecuaciones fundamentalmente relacionados?

Yo sé acerca de la Masa-Energía de Equivalencia , pero no pude encontrar la respuesta que estoy buscando.

Answer 1

En resumen, no, no es una coincidencia, que están relacionados. Es decir, se puede derivar la energía cinética como el primer orden de aproximación a la energía relativistas.

Tenemos,

$$ E_0 = mc^2 $$

como usted dice correctamente. Entonces

$$ E = \gamma m c^2 = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{1}{2}} m c^2 $$

o el uso de un binomio de expansión

$$ E \simeq \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{v^2}{c^2} + \dots \right) m c^2 \simeq mc^2 + \frac{1}{2} mv^2 $$

Así subtacting el resto de la energía $E_0$ tenemos

$$ E_k = E - E_0 \simeq \left( mc^2 + \frac{1}{2} mv^2 \right) - \left( mc^2 \right) = \frac{1}{2} m v^2$$

Tenga en cuenta que podemos utilizar sólo esta expansión al $v \ll c$. Esto tiene sentido, ya que es exactamente el caso en la mecánica Newtoniana, que es donde utilizamos la más conocida de la energía cinética de la fórmula.

Answer 2

Cada relación entre la masa y la energía se contienen dos factores de la velocidad, de consistencia dimensional.

En la relatividad especial tenemos la más exacta de la relación $$ E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 $$ donde el impulso $p$ es $$ p = \frac{mv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. $$ Usted puede hacer un poco de álgebra para demostrar que la energía total es siempre $$ E = \frac{ mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}. $$

En matemáticas tenemos una herramienta llamada el "teorema del binomio," la cual nos dice que $$ (1+\epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \frac{n(n-1)}{2!}\epsilon^2 + \cdots $$ Esta expresión resulta incluso si la potencia de $n$ no es un entero positivo! Si $\epsilon\ll1$, también tenemos el lujo de ser capaz de tirar a la basura los poderes superiores. Para pequeñas velocidades, entonces, la ecuación de Einstein, se convierte en $$ E = \frac{ mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = mc^2 + mc^2 \cdot \frac{-1}{2}\frac {v^2}{c^2} + mc^2 \cdot\mathcal S\left( (v/c)^4 \right) $$ lo que es claramente el resto de la energía, la clásica, la energía cinética, y relativista de la corrección que se hace grande cuando $v\approx c$.

Answer 3

Muy recomendable para tener una lección sobre la electrodinámica. Se le mostrará el origen de Einstein, la idea de la relatividad especial. Y, a continuación, con la teoría de la relatividad especial, que puede ser fácilmente deriva que E=mc^2. No hay coincidencia en estas dos fórmulas. O, en realidad se puede decir que siempre hay coincidencia en la física debido a que son simplemente diferentes formas de describir la misma ley de la naturaleza, con su propio ámbito de aplicación.