Estaba en clase de matemáticas escuchando a mi profesor parlotear sobre los sólidos de revolución cuando mi amigo me pasó una nota con un rompecabezas. Era algo así: 
¿De cuántas maneras diferentes puedes ir de A a B moviéndote sólo hacia la derecha o hacia abajo? (En su mano apenas legible, por supuesto)
Razoné que, dado que los caminos para llegar a cada vértice son aditivos de manera similar a la del triángulo de Pascal, los caminos a través de un $n\times n$ cuadriculado podría venir dado por $${2n} \choose n$$ Así que le pasé la nota con la respuesta, pero fue una victoria de corta duración, ya que me pasaron una segunda nota con varias rejillas modificadas como: 
Y me quedé en blanco en cuanto a cómo formularlos bien, así que recurrí a añadirlos a mano, lo que fue bastante aburrido.
¿Existe una forma de formular amablemente el número de formas en que se puede llegar de A a B si se elimina cualquier número de vértices, o sería más fácil hacerlo simplemente escribiendo a mano (o escribiendo un algoritmo)?
Me alegraré si consigo una fórmula para cualquier restricción, como que los vértices que faltan sean simétricos respecto a la diagonal, que sólo haya un número determinado, etc. De momento el único caso al que puedo aplicar combinaciones es el de que falte la mitad inferior de la cuadrícula, en cuyo caso el número de vías puede determinarse por los números catalanes $$C_n={1 \over {1+n}}{{2n} \choose n}$$
Por favor, tenga en cuenta que sólo soy un estudiante de segundo año en la escuela secundaria. Conozco el cálculo básico, el álgebra, la teoría de los números y la combinatoria; si es posible, formula tu respuesta en algo que pueda comprender.
