Es esta permitido el paso para trabajar con secuencias infinitas?

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de secuencias infinitas, que son, por supuesto, muy interesante. Por curiosidad, he intentado hacer una prueba de que:

$${1,-1,1,-1 ...} = 0$$

Esto era bastante fácil de hacer, si yo podría hacer un determinado paso. Ahora, esto paso hace un montón de sentido intuitivo para mí, pero me gustaría saber si este es en realidad matemáticamente justificable. Funciona en todos los escenarios? El paso es:

$$ \lim_{n \to \infty} (-1)^n = \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n} + \lim_{n \to \infty} (-1)^{2n+1} $$

O, más en general:

$$ \lim_{n \to \infty} (a)^n = \lim_{n \to\infty} (a)^{2n} + \lim_{n \to\infty} (a)^{2n+1} $$

La prueba a partir de ahí no es muy difícil, así que este es el punto de ruptura de mi argumento. Algunas ideas sobre la cuestión sería muy apreciada!

Answer 1

Lo que usted está tratando de demostrar que no es cierto.

Si usted ha aprendido la definición formal de límite, debería ser fácil para usted para probar directamente de la definición de que la $0$ es no el límite de $(-1)^n$.

(Set $\varepsilon=\frac12$ y ver que no es posible $N$ puede incluso empezar a trabajar).

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De hecho, su propuesta de regla

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to\infty} a_{2n} + \lim_{n \to \infty} a_{2n+1} $$ producirá claro falsedades incluso para el buen comportamiento de las secuencias -- considerar, por ejemplo, la secuencia de $1,1,1,1,\ldots$ cuyo límite es, obviamente,$1$, por lo que su regla se podría afirmar que $1=1+1$.

Puede ser confuso secuencias de la serie: es cierto que $$ \sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty a_{2n} + \sum_{n=0}^\infty a_{2n+1} $$ si ambas series en el lado derecho convergen. (Por otro lado, si ninguno de los dos de la mano derecha de la serie converge, todavía es posible que el de la izquierda).

Answer 2

Lo que usted puede decir es que si $\lim_{n\to\infty}a_{2n}$ $\lim_{n\to\infty}a_{2n+1}$ ambos existen y son iguales, entonces se $\lim_{n\to\infty}a_n$ existe y es igual a los límites.

Por otra parte, en el sentido tradicional de límites, $(-1)^n$ no converge en todo, no tiene límite.