Si la matriz de una lineal mapa es independiente de la base, el mapa es un múltiplo de la identidad del mapa.

Question

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre $F$, y vamos a $$T:V\to V$$ ser lineal en el mapa.

Supongamos que dados cualesquiera dos bases de $B$$C$$V$, tenemos que la matriz de $T$ respecto $B$ es igual que con respecto a $C$.

¿Cómo podemos demostrar que esto implica que existe una $\lambda\in F$ tal que $T(v)=\lambda v$, $\forall v\in V$?

Answer 1

Deje $A$ ser la matriz de $T$. Supongamos $Tv_1=v_2$ para algunos vectores $v_1,v_2$ que no son linealmente dependientes. Extender $\{v_1,v_2\}$ a una $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$$V$. Por supuesto, las matrices de $T$ w.r.t. la orden de bases $\{v_1,v_2,v_3,\ldots,v_n\}$ $\{v_2,v_1,v_3,\ldots,v_n\}$ debe ser igual a $A$. Por lo tanto,$Tv_2=v_1$. Pero, a continuación,$T(v_1+v_2)=v_1+v_2\not=v_1-v_2$. Por lo tanto la matriz de $T$ w.r.t. el ordenó a base $\{v_1+v_2,\ v_1-v_2,\ v_3,\ldots, v_n\}$ sería diferente de $A$, lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, para cada vector $v\in V$, $Tv$ y $v$ deben ser linealmente dependientes, es decir, $Tv=\lambda_vv$ para algunos escalares $\lambda_v$. Deje $v$ ser el primer vector en una ordenó a base de $V$, podemos ver que $\lambda_v$ es igual a la $(1,1)$-ésima de a $A$, que es una constante. Por lo tanto el resultado de la siguiente manera.

Answer 2

Sugerencia: Esto es equivalente a decir que cualquier valor distinto de cero vector es un vector propio de a $T$