Si $x * x = e$ para todos $x$ y $(x_i * x_j) * (x_j*x_k) = x_i*x_k$ entonces $*$ es asociativo

Question

Esto debería ser sencillo, pero por alguna razón me bloqueo en esto.

Dejemos que $G = \{x_1, \ldots x_n\}$ sea un conjunto dotado de la operación $*$ que satisfaga lo siguiente :

1) $G$ tiene un elemento de identidad $e$ con $e *x = x = x * e$ para todos $x \in G$ .

2) Todos los elementos son autoinversos (es decir $x * x = e$ para todos $x \in G$ ).

Demostrar que $*$ es asociativo si y sólo si para todo $i,j,k$ , $(x_i * x_j) * (x_j * x_k) = x_i * x_k$ .

Es el $\Leftarrow$ parte que me molesta. A partir de 2) puedo demostrar que la matriz de multiplicación de $G$ es una plaza latina. Y creo que $*$ es conmutativo ya que $(x_i * x_j) * (x_j * x_i) = x_i * x_i = e \Rightarrow x_i * x_j = x_j * x_i$ .
Pero no veo cómo esto lleva a la asociatividad.

Answer 1

Utilizo la notación multiplicativa para simplificar ( $x y$ en lugar de $x * y$ ) Supongamos que la propiedad $[x y] [y z] = x z$ es válida para todos los $x, y, z$

Lema 1 : $x (x y) = y$ y $(x y) y = x$ para todos $x, y$

Esto se debe a que tenemos $x (x y) = [e x] [x y] = e y = y$ .

Lema 2 : $x y = y x$ para todos $x, y$ .

Esto se debe a que $[x y] [y x] = x x = e$ por un lado, y multiplicando por la izquierda por $x y$ da $y x = (x y) e = x y$ gracias al lema 1.

Así, para todos los $x, y, z$ , $(x y) z = x (y z)$ si $(x y) z = x (z y)$ si $[(x y) z] [z y] = x$ si $(x y) y = x$ .