Cómo muchas de las soluciones para la ecuación de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 15$ tienen dos variables es igual a 1?

Question

Cómo muchas de las soluciones para la ecuación de $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=15$ tienen exactamente dos variables es igual a 1? ($x_i \ge 1 $)

Sugerencia: piense acerca de la división de 15 granos de entre 5 niños, teniendo en cuenta las restricciones.

Answer 1

Paso 1: Dar 1 bean para cada uno de los niños. No es $1$ manera de hacer esto.

Paso 2: Elige dos de los niños y decirles que se vayan a casa. Hay $\binom 52=10$ maneras de hacer esto.

Paso 3: Dar 1 bean para cada uno de los niños de la izquierda. No es $1$ manera de hacer esto. Ha $7$ frijoles a la izquierda.

Paso 4: Distribuir a voluntad de los granos. Esta es una de las barras y las estrellas problema. Hay $\binom 92=36$ maneras de hacer esto.

Resultado: $10\cdot 36=360$.

Answer 2

Más ayuda: Hay $\binom52$ formas para elegir a dos de los niños a recibir un bean de cada uno. Una vez que haya sido elegido, usted tiene $13$ frijoles para distribuir entre los tres hijos de tal manera que cada niño reciba, al menos, $2$ frijoles. Hay muchas maneras de hacer eso, ya que hay que distribuir $10$ frijoles entre $3$ de los niños de modo que cada niño reciba, al menos, uno de frijol.

Answer 3

Paso 1: Dar 1 bean cada uno a cualquiera de los dos niños y los envían a casa.[${5\choose 2}$ = 10 maneras.]

Paso 2: Dar 2 granos de cada uno de los 3 restantes los niños. 7 frijoles.

Paso 3: Distribuir el resto de los 7 granos de entre 3 niños de cualquier forma, el uso de "estrellas y barras" en ${9\choose 2}$ = 36 maneras

Resultado: 10*36 = 360

Answer 4

Restar $1$ de cada variable, por lo que la restricción es$x_i \ge 0$$\sum x_i = 10$. Puede seleccionar las dos variables a obtener valor $0$ $\binom{5}{2}$ formas, para los otros tres estrellas-y-bares dice que hay un $\binom{10 + 3 - 1}{3 - 1}$ formas de resolver la ecuación, para un total de:

$$ \binom{5}{2} \cdot \binom{10 + 3 - 1}{3 - 1} = 660 $$

soluciones.