Están todos conectados a colectores homogénea

Question

Un espacio topológico $X$ se llama homogénea, si para cada dos puntos de $x,y \in X$ existe un homeomorphism $\phi : X \rightarrow X$ s.t. $\phi(x) = y$.

No es difícil comprobar que todo está conectado de 2 colectores son homogéneos. La prueba, básicamente, consiste en el hecho de que si $D$ es el disco abierto en $\mathbb{R}^2$ a continuación, para cada $x,y \in D$ existe un homeomorphism $\phi : \bar{D} \rightarrow \bar{D}$ tal que $\phi(x) = y$, e $\phi \vert_{\partial D}$ es la identidad.

Es cierto que un general conectado el colector es homogénea?

Answer 1

Sí, cualquier conectados topológico colector $X$ de dimensión arbitraria $n$ es homogénea .

1) El crucial lema es que dados dos puntos $a,b\in \mathbb B^{\circ}$ en el interior de un sistema cerrado de bolas $\mathbb B \subset \mathbb R^n$, existe un homeomorphism $f: \mathbb B\to \mathbb B$ que es la identidad en $\partial \mathbb B$ que $f(a)=b$.

2) a continuación, Se deduce que si a arreglar cualquier punto de $x_0 \in X$, entonces el conjunto de puntos de $y\in X$ que puede ser escrito $y=F(x_0)$ para algunos homeomorphism $F:X\to X$ es a la vez abierto y cerrado, por lo tanto es igual a $X$.
Por lo tanto $X$ es homogénea.
(Por cierto, una evidente modificación de la prueba muestra que el análogo resultado también es válido para un diferencial de colector: su diffeomorphisms ley transitivamente sobre el múltiple de admisión)

Edit: un pescado de la imagen
Permítanme darles un modelo físico que puede ayudar a visualizar el lema en 1) a totalmente riguroso y sorprendentemente nítidas prueba se da en t.b.'s gran comentario).
Imagina que tienes una pecera esférica completamente lleno de agua y un pez de colores sentado en algún lugar en ella.
El lema dice que puede enviar los peces de colores a cualquier lugar previamente asignado en la taza hábilmente (!) agitar el recipiente.