ejemplos de no-resumen de los anillos?

Question

En teoría de grupos, que me ayudó mucho a usar la simetría de los grupos de objetos geométricos como un triángulo a entender más los conceptos abstractos. Hay anillos con un similar nivel bajo de abstracción?

Sé $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}[X]$, $K[X]$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{d}], d \in \mathbb{Z}$ que son todos bastante abstracto. Tal vez no $\mathbb{Z}$ pero es demasiado "bonito" y no ilustra la más interesante de las propiedades de los anillos o la falta de ella muy bien.

Answer 1

Si quieres una forma fácil de entender el hormigón nuevo ejemplo de reglas asociativas, distributiva de la regla, y la multiplicación de matrices inversas y las normas de identidad que contribuyen a definir un anillo, consideramos que la llamada "tropical semiring", es decir, min-además semiring sobre los reales. Para dos números reales, "además" de $x,y$ se define como $\min(x,y)$, y la "multiplicación" de dos reales se define como $x + y$. Con esta definición de la adición y la multiplicación, se puede comprobar que la asociatividad tiene para la adición y la multiplicación, y que la propiedad distributiva se sostiene, y que $0$ es la identidad multiplicativa, y los inversos multiplicativos de existir (la inversa de a$x$$-x$). Sin embargo, no hay identidad aditiva y no inversos aditivos, debido a que min es una "irreversible" de la operación. De ahí por qué se llama un "semi-anillo" en lugar de un anillo. Pero ilustra la mayoría de los anillo de propiedades y es muy fácil de entender y verificar.

Answer 2

El conjunto de funciones continuas $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ $\mathbb{R} $ $\mathbb{R}$es un anillo bajo la suma y la multiplicación se define de la siguiente manera: $(f*g) (x) = f(x)g(x)$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, este anillo es también una interesante zoológico de muchos interesantes anillo teórico de actividades.

Answer 3

El anillo de $n \times n$ matrices, o $\Bbb R^n \longrightarrow \Bbb R^n$ lineal mapas, proporciona buenos ejemplos de:

• Nilpotents como $\left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right] (A^2 = 0 \text{ and } A \not= 0)$
• Idempotente elementos como $\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right] (A^2 = A \text{ and } A \not\in \{0,I\})$
• Multiplicativa homomorphisms como $\det$
• Noncommutativity

Mira la división de números complejos y dual números para ver buenos ejemplos de ideales.