Dado un primer $p\in\mathbb{N}$ $A=\frac{x^{p^{2}}-1}{x^{p}-1}$ irreductible en $\mathbb{Q}[x]$?

Question

Si $p \in \mathbb{N}$ es un número primo, es $\displaystyle A=\frac{x^{p^{2}}-1}{x^{p}-1}$ irreductible en $\mathbb{Q}[x]$?

Creo que no es. Si alguien ve una contradicción, yo estaría encantado de ver.

El enlace de Qiaochu enlaces para el criterio de Eisenstein.

Allí está escrito que:

cyclotomic polinomios puede ser obtenido al dividir el polinomio $x^{p}-1$ (en este caso $x^{p^{2}}-1$) $x-1$ (en este caso $x^{p}-1$, que es que es obvio raíz.

A continuación, el artículo se hace una sustitución, por lo que el criterio puede ser aplicado: por substituing x+1 para x esto da : $((x+1)^{p}-1)/x = x^{p-1} + (p nCR p-1)x^{p-2} + .... + (p nCR 1) $. Los coeficientes son divisibles por p, debido a las propiedades de los coeficientes binomiales, y por lo tanto no divisible por $p^{2}$.

Cómo encontrar la sustitución por lo Eisenstein criterio se puede aplicar?

Estoy muy agradecido por cualquier perspectiva.

Answer 1

Es el polinomio mínimo para las raíces de la unidad de la orden de $p^2$, y es irreductible.

Answer 2

Aquí es una prueba basada en el criterio de Eisenstein, sin necesidad de utilizar el resultado general sobre la irreductibilidad de cyclotomic polinomios.

Para el $p^2$-th cyclotomic polinomio $A = \frac{x^{p^2} - 1}{x^p - 1}$, vamos a mostrar que $A(x+1)$ es una Eisenstein polinomio para el prime $p$.

Sustituyendo $x+1$ en la ecuación de $(x^p - 1)A(x) = x^{p^2} - 1$ rendimientos (después de la aplicación del teorema del binomio y la división por $x$) $$\left(\sum_{i=0}^{p-1}\binom{p}{i+1}x^i\right)\cdot A(x+1) = \sum_{i=0}^{p^2 - 1}\binom{p^2}{i+1}x^i.$$ Comparación de las constantes de los coeficientes muestra que $pa = p^2$ donde $a$ denota el coeficiente constante de $A(x+1)$. Por lo $a = p$.

Además, la lectura de la ecuación anterior modulo $p$ tenemos $$x^{p-1} \cdot A(x+1) \equiv x^{p^2 - 1}\mod p$$ y por lo tanto $$A(x+1) \equiv x^{p^2 - p}\mod p.$$ Por lo $A(x+1)$ es de hecho una de Eisenstein polinomio.