"Convergencia" de la secuencia $a_k=2^{10^{\ k}}$

Question

He observado los dígitos finales de cada número en la secuencia $$a_k=2^{10^{\ k}}$$

Lo tienes:

$\ a_0=2 \\ a_1=1024 \\ a_2= ...205376 \\a_3= ...069376\\a_4=...709376\\a_5=...9883109376\\a_6=...2747109376\\a_7=...1387109376$

Y así sucesivamente. Obviamente, los números se hacen exponencialmente más grandes, pero los dígitos finales de cada número parecen "converger".

Por pura curiosidad, me pregunto si alguien puede explicar este efecto.

Answer 1

Por la generalización de Euler del teorema de Fermat, tenemos

$$a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$$

siempre que $a$ et $n$ son coprimos, donde $\varphi$ es la función totiente de Euler. Para la base $a = 2$ y el módulo $n = 5^m$ tenemos $\varphi(5^m) = (5-1)\cdot 5^{m-1}$ Así, para $k \geqslant 2$ tenemos

$$2^{10^k} = \left(2^{4\cdot 5^k}\right)^{2^{k-2}} \equiv 1 \pmod{5^{k+1}}.$$

Y tenemos $10^k \geqslant k+1$ para todos $k \geqslant 0$ Así que

$$2^{10^k} \equiv 0 \pmod{2^{k+1}}.$$

Así, el último $k+1$ dígitos de $2^{10^k}$ son las únicas (modulo $10^{k+1}$ ) la solución a

$$x_k \equiv 1 \pmod{5^{k+1}}\land x_k \equiv 0 \pmod{2^{k+1}}.$$

Obviamente, también tenemos

$$x_k \equiv 1 \pmod{5^k}\land x_k \equiv 0 \pmod{2^k},$$

así que $x_k \equiv x_{k-1} \pmod{10^k}$ lo que significa que (para $k \geqslant 2$ ) el último $k+1$ Los dígitos ya no cambian.