Ejemplo de contráctiles abrir el colector de que no es $\mathbb{R}^n$ - variedades?

Question

Yo estaba en una charla y el orador mencionó que es fácil de escribir (real o complejo?) polinomios cuyos cero loci son contráctiles conectados a los colectores, pero no homeomórficos a $\mathbb{R}^n$. Alguien puede darme algunos ejemplos con la prueba de la contractibilidad?

Answer 1

Aquí es lo que sé acerca de la pregunta que lleva a la conclusión de que mientras los ejemplos mencionados por el altavoz no existen, que no son nada fáciles; yo no conozco a ningún ejemplos explícitos (no quiere decir que no hay ninguna).

Definición. Topológico, colector $M$ se llama domar si $M$ es homeomórficos en el interior de un colector compacto $N$ con límite.

La Whitehead colector (mencionado en Thomas de la Pudrición de la respuesta) es la primera (y la más famosa) ejemplo de un no-tame contráctiles del colector. La relevancia de esta definición de la real algebraicas sets (conjuntos dados por ecuaciones polinómicas en $R^k$ algunos $k$) es que cada real algebraicas colector de domar. Ya esto no es fácil, se desprende de la Lojasiewicz del teorema de que todas las compactas real algebraicas conjunto admite una triangulación.

Definición. Un colector de domar $M$ es simplemente conectado al infinito si se admite un compactification $M\subset N$ por encima de esos que $\partial N$ es simplemente conectado.

Esta no es la definición estándar (que es un poco complicado, me puede dar uno si te gusta), pero se puede demostrar que es equivalente a la norma; en particular, la conectividad simple al infinito (que se define no sólo para domar colectores) es independiente de la compactification. El siguiente teorema es digno de un triple de Campos de medallas (Smale, Freedman y Perelman):

Teorema. (J. Stallings, M. Freedman, G. Perelman) Un contráctiles $n$-dimensiones del colector es homeomórficos a $R^n$ si y sólo si simplemente se conecta al infinito.

Por lo tanto, con el fin de construir ejemplos mencionados por los altavoces, uno está buscando suave compacto contráctiles colectores con el límite de $N$ tal que $\partial N$ no está simplemente conectado. Dichos colectores $N$ no existen en las dimensiones de $\le 3$ (me puede explicar por qué si te gusta), pero existen en todas las dimensiones de la $n\ge 4$. (Cada liso homología $n-1$-la esfera de los límites de un suave compacto contráctiles del colector, mientras $n\ge 5$; en la dimensión $n=4$ los ejemplos son llamados Mazur colectores, se construyeron primero de forma independiente por Mazur y Poenaru alrededor de 1960.) Pero se necesita más que eso: quieres ejemplos donde $int(N)$ es algebraico. Akbulut y el Rey en:

S. Akbulut y H. Rey, La topología de la real algebraicas conjuntos con singularidades aisladas, Anales de Matemáticas. 113 (1981) 425-446.

resultó que el interior de cualquier suave compacto colector (con límite) es diffeomorphic a un nonsingular real algebraicas subconjunto de algunos $R^k$.

Poniendo todo junto, obtenemos que para cada $n\ge 4$ existen contráctiles nonsingular real algebraica de juegos, que son suaves $n$-dimensiones de los colectores no homeomórficos a $R^n$. Por otro lado, estos ejemplos no existen para $n\le 3$.

Answer 2

Cómo acerca de la puesta a cero de $p(x,y) = xy$? Es claramente contráctiles y también no homeomórficos a $\mathbb{R}^n$ cualquier $n$.

Answer 3

Usted está probablemente en busca de la Whitehead colector. No sé de un explícito polinomio cuyos cero locus es la Whitehead colector, pero estoy (editar)-seguro de que existe.