Interpretación geométrica de los rastros

Question

Esta tarde he estado hablando con algunos estudiantes de posgrado del departamento y hemos llegado a la siguiente disyuntiva;

¿Existe una interpretación geométrica de la traza de una matriz?

Esta pregunta debería tener sentido porque la traza es independiente de las coordenadas.

Algunos otros comentarios. Esperábamos algo como:

"El determinante es el volumen del paralelepípedo abarcado por los vectores columna".

Esto es bueno porque captura la geometría de manera simple, y se mantiene para cualquier conjunto de vectores sobre $\mathbb{R}^n$ .

La aplicación de la divergencia de la traza es algo interesante, pero de nuevo, no es realmente lo que estamos buscando.

Además, después de ver el wiki entrada, no lo entiendo. Esto requiere entonces una función matricial, y sigo sin ver realmente la relación.

Una última cosa que se nos ocurrió; la traza de una matriz es lo mismo que la suma de los valores propios. Dado que los valores propios pueden verse como la excentricidad de la elipse, la traza puede corresponder geométricamente a esto. Pero no pudimos encontrarle sentido a esto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si su matriz es de proyección geométrica (algebraicamente $A^2=A$ ) entonces la traza es la dimensión del espacio sobre el que se proyecta. Esto es muy importante en la teoría de la representación.

Answer 2

Utilicemos $\det(\exp(tA)) = 1 + t\ Tr(A) + O(t^2)$ y pensar en la EDO vectorial $\vec y' = T \vec y$ , resuelto por $\vec y(t) = \exp(tA) \vec y(0)$ . Si tomamos un paralelepípedo unitario que vale $\vec y(0)$ , flujo durante un corto periodo de tiempo $t$ en $\vec y' = T\vec y$ y ver cómo cambia su volumen, el cambio será pues $t\ Tr(A)$ a primer orden.

Ah, Yemon Choi se me adelantó en parte.

Answer 3

V. I. Arnold lo resume muy bien en la sección 16.3, página 113 de "Ecuaciones diferenciales ordinarias" (edición de Springer).

"Supongamos que se realizan pequeños cambios en las aristas de un paralelepípedo. Entonces la principal contribución al cambio de volumen del paralelepípedo se debe al cambio de cada arista en su propia dirección, los cambios en la dirección de las otras aristas sólo hacen una contribución de segundo orden al cambio de volumen."

Answer 4

Me sorprende que nadie lo haya mencionado todavía, pero la traza define un producto interno hermitiano en el espacio de operadores lineales de $\mathbb{C}^n$ a $\mathbb{C}^m$ : $$\langle A, B\rangle = \text{Tr}\ A^\dagger B.$$ Y todo operador multiplicativo en $M_{n}(\mathbb{C})$ que preserva la involución $\dagger$ debe preservar este producto interno. No se puede ser mucho más geométrico que eso.

Answer 5

Si sólo se trabaja en un espacio euclidiano de dimensiones finitas, entonces utilizando el hecho de que podemos calcular la traza de $A$ como $\sum_{j=1}^n \langle Ae_j, e_j\rangle$ para $any$ elección de la base ortonormal $e_1,\dots, e_n$ se obtiene

${\rm Tr}(A) = \int_{x\in B} \langle Ax, x\rangle \,dm(x)$

donde $B$ es la esfera unitaria euclidiana, y $m$ es la medida uniforme en $B$ normalizado para tener la masa total $1$ . Esto quizás no sea tan geométrico como usted desea, pero quizás parezca menos dependiente de una elección de coordenadas.

Además, la página de la wikipedia se refiere a la traza como (relacionada con) la derivada del determinante -- ¿no parece eso "geométrico"?