Sobre un argumento específico que pretende demostrar $0.999\dots = 1.0$ .

Question

He leído las pruebas de por qué $0.9999.... = 1$ que son satisfactorios. Pero no puedo quitarme de la cabeza el siguiente argumento.

Definición de $0.9999....$ : Construyamos un número real no terminante pero recurrente n tal que todos los dígitos antes del punto decimal sean cero y todos los dígitos después del punto decimal sean 9. Comparando $1.0000$ con $0.99999...$

Dígito en el lugar de uno en $1.0$ (es decir, 1) $\ne$ Dígito en el lugar de uno en $0.99999$ (es decir, 0)

Dígito a la décima en $1.0$ (es decir, 0) $\ne$ Dígito a la décima en $0.99999$ (es decir, 9). Y así sucesivamente....

Por lo tanto, $1.0 =0.9999...$ no encaja con nuestra definición original de $0.9999...$ ¿Puedes encontrar el error en el argumento (aparte de decir que de hecho $1.0 = 0.9999...$ )? ¿Estoy utilizando una forma incorrecta de definir (o quizás de comparar) un número (con otro)? Por favor, ayúdeme. Soy nuevo en el análisis. Gracias.

Answer 1

El fallo de tu argumento es que esta prueba que has descrito no comprueba la igualdad en $\mathbb{R}$ .

En definitiva, $\mathbb{R}$ tiene que ver con conjuntos infinitos y límites, por lo que intuitivamente no basta con considerar una comparación finita de dígitos.

Answer 2

El problema es que dos números reales no son necesariamente desiguales sólo porque tengan una expansión decimal diferente. Y que $1 = 0.999\dots$ es un ejemplo de ello.

Answer 3

Los números son efectivamente diferentes. Sin embargo, eso no significa que los números que representan sean diferentes.

La idea de que diferentes cosas pueden representar el mismo número es conocida: basta pensar en $1/2$ frente a $3/6$ o $1+2$ frente a $3$ .

Afirmo que la razón principal por la que cosas como $0.\overline{9} = 1.\overline{0}$ de la gente es simplemente porque cada número que puede ser representado por un terminando tiene una representación única como decimal de terminación, pero esta propiedad no se cumple al pasar del caso especial de los numerales finamente largos al caso general de los numerales infinitamente largos, unido al hecho de que más Los números reales tienen una representación única de esta manera.

Answer 4

El problema está, efectivamente, en su definición. Hay muchos casos en los que podemos escribir lo mismo de diferentes maneras, pero siguen siendo lo mismo. El ejemplo más sencillo es $1+1=2$ - un resultado aparentemente obvio, pero podría venir muy fácilmente y decir que hay un signo más a la izquierda pero no a la derecha, por lo que estas cosas no son iguales.

Entonces, ¿cómo definimos que dos números son iguales en $\mathbb R$ ? La mejor manera es pensar en términos de distancia. Dos números son iguales si tienen distancia $0$ entre sí. Hay muchas métricas -medidas de distancia- en $\mathbb R$ pero el más básico es: $$d(x,y) = |x-y|$$

Entonces, ¿qué es $d(0.99\ldots, 1$ )? Las pruebas que ya has visto deberían convencerte de que la respuesta es efectivamente $0$ .