Si $\lim_{x\to0} f(x)+g(x)$ y $\lim_{x\to0} f(x)g(x)$ existen simultáneamente, ¿hay alguna $f(x)$ y $g(x)$ que no tienen límite

Question

Si $\lim_{x\to0} f(x)+g(x)$ y $\lim_{x\to0} f(x)g(x)$ existen simultáneamente, ¿hay alguna $f(x)$ y $g(x)$ que no tienen sus propios límites?

Answer 1

Existen ejemplos como $f = \left\{ \begin{array}{ll}0 & x \ge 0\\ 1 & x < 0 \end{array}\right., g = \left\{ \begin{array}{ll}1 & x \ge 0\\ 0 & x < 0 \end{array}\right.$ . Aquí $f(x) + g(x)$ es idéntico a 1 y $f(x)g(x)$ es idéntico a cero. Sin embargo, ninguna de las dos funciones tiene un límite en $x=0$ .

Answer 2

Incluso se puede encontrar un ejemplo en el que las funciones $f$ y $g$ no son continuos en ninguna parte: toma $f(x)=\begin{cases}1,&x\in\Bbb Q,\\0,&x\notin \Bbb Q,\end{cases}$ y $g(x)=1-f(x)$ .

Obviamente, $\forall x$ $f(x)+g(x)=1$ , $f(x)g(x)=0$ .

Answer 3

Esta respuesta pretende ser una comprensión general de la pregunta. Set $$ \mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)= \begin{cases} \dfrac{g(x)-f(x)}{|g(x)-f(x)|} & \mbox{if } \;\;\;\ g(x)-f(x)\neq 0\\ \\ \;\;0 & \mbox{if } \;\;\;g(x)-f(x)=0\\ \end{cases} $$

Propuesta. Supose $\lim_{x\to 0} [g(x)+f(x)]=S$ y $\lim_{x\to 0} [g(x)\cdot f(x)]=P$ . Si existe el límite $\lim_{x\to 0} \mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)$ entonces hay límites $$ \lim_{x\to 0}g(x)= S+\lim_{x\to 0}\mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)\cdot\sqrt{S^2-4P} \\ \lim_{x\to 0}f(x)= S-\lim_{x\to 0}\mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)\cdot\sqrt{S^2-4P} $$ Si no existe el límite $\lim_{x\to 0} \mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)$ entonces no hay límites $\lim_{x\to 0}g(x)$ y $\lim_{x\to 0}f(x)$ .

Prueba . Tenga en cuenta que, $$ \big|g(x)-f(x)\big|= \sqrt{[g(x)+f(x)]^2-4[g(x)\cdot f(x)]}=\sqrt{g(x)^2-2g(x)\cdot f(x)+f(x)^2} $$ y $$ \big[ g(x)-f(x) \big]=\mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)\cdot\big|g(x)-f(x)\big|. $$ Por lo tanto, podemos concluir que \begin{align} g(x)=&\frac{1}{2}\big[ g(x)+f(x) \big]+ \frac{1}{2}\mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big) \cdot\left|g(x)-f(x)\right| \\ f(x)=&\frac{1}{2}\big[ g(x)+f(x) \big] -\frac{1}{2}\mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big) \cdot\big|g(x)-f(x)\big|\\ \end{align} Observe que $\lim_{x\to 0}|f(x)-g(x)|=\sqrt{S^2-4P}$ . Si $\lim_{x\to 0} \mathop{\mbox{sgn}}\big(g(x)-f(x)\big)$ existen ( o no), entonces sigue el resultado.

Answer 4

Supongamos que las funciones $m$ y $p$ se definen en una vecindad punteada $\dot U$ de $x=0$ y que los límites $\lim_{x\to0} m(x)$ y $\lim_{x\to0}p(x)$ existe. Pedimos funciones $f$ y $g$ tal que $${f(x)+g(x)\over2}=m(x),\qquad f(x)\>g(x)=p(x)\ .\tag{1}$$ Cuando $m^2(x)-p(x)\geq0$ en $\dot U$ podemos definir las funciones $$h_+(x):=m(x)+\sqrt{m^2(x)-p(x)},\quad h_-(x):=m(x)-\sqrt{m^2(x)-p(x)}\qquad(x\in\dot U)\ .$$ Juntos resuelven $(1)$ en lugar de $f$ y $g$ y de la continuidad de las operaciones implicadas se deduce que los límites $\lim_{x\to0}h_+(x)$ , $\>\lim_{x\to0}h_-(x)$ existe.

Pero hay infinitas soluciones $f$ , $g$ de $(1)$ para los que no existen los límites correspondientes. La solución más general de $(1)$ viene dada por $$f(x):=m(x)+\sigma(x)\sqrt{m^2(x)-p(x)},\qquad g(x):=m(x)-\sigma(x)\sqrt{m^2(x)-p(x)}\ ,$$ donde $$\sigma: \quad \dot U\to\{-1,1\},\qquad x\mapsto\sigma(x)$$ es arbitraria.