Demostrar la desigualdad de $2e^x>x^3+x^2$

Question

Si $x \in \Bbb R$, muestran que $$2e^x>x^3+x^2$$ Esta desigualdad es correcto, ver

Propias ideas: Si $x\in \Bbb R$,

$$f(x)=2e^x-x^3-x^2$$ $$f'(x)=2e^x-3x^2-2x$$ $$f''(x)=2e^x-6x-2$$ $$f'''(x)=2e^x-6$$ $$f''''(x)=2e^x>0$$

Como el símbolo no puede juzgar $f$ signo.

Entonces, ¿cómo podemos mostrar esta $$f(x)>0 \text{ for } x \in \Bbb R?$$

Answer 1

• Para $x \leq 1$, aviso que $$ x^3 + x^2 \leq x + 1 \leq e^x \leq 2e^x. $$

• Para $x \geq 1$, es suficiente para demostrar que $f(x) := \log(2e^x) - \log(x^3 + x^2) > 0$. La diferenciación de dos veces, $$ f'(x) = 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}, \qquad f''(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{1}{(x+1)^2} $$ Esto demuestra que $f$ es estrictamente convexa y alcanza el mínimo global en $[1, \infty)$$x = 1+\sqrt{3}$. Ahora la conclusión se deduce de $$ f(1+\sqrt{3}) = 1+\sqrt{3} - 2\log(2+\sqrt{3}) \approx 0.098135 > 0. $$

Answer 2

Si x<-1, que es trivial. Si x es un número entre -1 y 0, es fácil ver que $2e^x>2e^{-1}>\max\{x^3+x^2\}.$

Si x es un número entre 0 y 1, es fácil ver que $2e^x>2>\max\{x^3+x^2\}.$

Deje $c_1>1$ ser la primera raíz de $x^3+x^2=2e^1.$, entre 1 y $c_1$, usted tiene $2e^x>2e >\max\{x^3+x^2\}. $

Creo que podemos continuar este proceso para obtener una prueba.

Answer 3

Considerar que para todo x en $\mathbb R$, $e^{x}$ > 0, por lo $2e^{x}$ > 0 para todos los $\mathbb R$.Tan claramente para $x\leq 0$$\mathbb R$, la afirmación es verdadera, ya $x^2 \geq 0$$x^3 \leq 0$. Desde $|x^3| \geq x^2$ para x en $\mathbb R$, $x^3 + x^2 \leq 0$ para$x\leq 0$$\mathbb R$.

Ahora consideremos donde$x>0$$\mathbb R$. Vamos a usar el poder exponencial de la serie ya que sabemos que converge para todos los números reales. Suponiendo que x > 0,la reorganización y la sustitución de da $e^x > \frac{1}{2} (x^3 + x^2)$ = $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} > \frac{1}{2} (x^3 + x^2)$

La pregunta ahora es qué lado crece como $x\rightarrow +\infty$. Claramente ambos van al infinito en este caso. Para considerar el siguiente:

$\frac{e^x} {\frac{1}{2} (x^3 + x^2)}$

Ahora el uso de L'Hospital de la regla:

$\frac{e^x} {\frac{3}{2} (x^2 + x)}$

Aplicar de nuevo:

$\frac{e^x} {3x + 1}$

Una última vez.

$\frac{e^x} {3}$

Claramente como $x\rightarrow +\infty$ e^x > 3. Que completa la prueba. ¡Uf!