Si un $3 \times 3$ matriz tiene determinante cero, entonces es posible que su rango podría ser $3$? Creo que sólo podría ser $2$ o menos. Estoy bien o mal? Por favor explique.
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XZS
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Sólo pensar en esta imagen: Una matriz puede ser visto como un conjunto de $n$ vectores de $n$ dimensión (imagínese el caso de $n=3$). Por lo tanto el determinante es en realidad el volumn del poliedro generado por estos vectores (por ejemplo: $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T$ $(0,0,1)^T$ forma de un cubo unitario), donde el signo (más o menos) indica la orientación (mano-derecha del sistema ; además, y zurdos sistema, en caso contrario).
Ahora usted puede entender que muchas de las propiedades de los determinantes: el Intercambio de dos columnas (o filas) voltear el signo del determinante-eso es porque el cambio de orientación. O, si una columna (o fila), se convierte en ceros, el determinante será reducido a cero-eso es porque el poliedro se reduce a una hoja, y por lo tanto no ocupa espacio.
Como para el rango, el rango de una matriz en realidad te dice cuál es la dimensión mínima del espacio de la celebración de todos los vectores de la matriz. Tome $n=3$ como ejemplo de nuevo: Si $r(A)=3$, es decir, en el fin de contener todos los vectores columna de a $A$, un espacio de al menos 3 dimensión es una necesidad. Como resultado, ellos abarcan un valor distinto de cero volumn. Si $r(A)=2$, significa que los vectores son, de hecho, acostado en un avión, o $r(A)=1$, la mentira dentro de una línea, de los cuales contiene un cero volumn.
Alex Andronov
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Lorin Hochstein
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Estás en lo correcto; un singular de la matriz (matriz cuadrada con determinante cero) no puede ser de rango completo.
Para ver esto, pensar en el efecto que los elementales de fila operaciones tienen sobre el determinante:
Si $B$ se obtiene a partir de a $A$ mediante el intercambio de dos filas, a continuación,$\det(B) = -\det(A)$.
Si $B$ se obtiene a partir de a $A$ al multiplicar una fila por un $\lambda$,$\det(B) = \lambda\det(A)$. Recuerde que para que esto sea un elemental de fila operación, debe tener $\lambda\neq 0$.
Si $B$ se obtiene a partir de a $A$ mediante la adición de un múltiplo de una fila a otra fila, a continuación,$\det(B)=\det(A)$.
Esto significa que si $B$ se obtiene a partir de a $A$ por una secuencia de operaciones elementales con sus filas, a continuación, $\det(B)=0$ si y sólo si $\det(A)=0$; es decir, que puede ir desde una matriz con cero el determinante de una matriz con determinante distinto de cero haciendo operaciones elementales con sus filas; y tampoco se puede ir a partir de una matriz con determinante distinto de cero para una matriz con determinante cero. (A pesar de que el valor de la determinante puede cambiar de algún número distinto de cero a otro, debido a que el segundo tipo de elementales de fila operación se mencionó anteriormente, no se puede ir de cero a un valor distinto de cero o a partir de un valor distinto de cero a cero).
Ahora supongamos que $A$ $n\times n$ y tiene un rango de $n$. Entonces sabemos que haciendo operaciones elementales con sus filas podemos transformar $A$ en la $n\times n$ matriz identidad. El $n\times n$ matriz tiene determinante $1$; por lo que si podemos transformar $A$ en la matriz de identidad con operaciones elementales con sus filas, a continuación, $\det(A)\neq 0$ (debido a $\det(I_n)\neq 0$). Para una matriz de rango $n$ tiene determinante distinto de cero. Esto es lógicamente equivalente a la contrapositivo: si $\det(A)=0$, $A$ no tiene rango de $n$ (y por lo que tiene rango de $n-1$ o menos).
Por el contrario, si el rango de $A$ es estrictamente menor que $n$, con primaria fila de las operaciones podremos transformar $A$ en una matriz que tiene al menos una fila de ceros. El determinante de una matriz con una fila de ceros es $0$, lo que significa que $\det(A)=0$.
En resumen, si $A$$n\times n$, $\mathrm{rank}(A)=n$ si y sólo si $\det(A)\neq 0$.
