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Deje $x = h(y, z), y = g(x, z), x = h(y, z)$, para calcular derivadas parciales?

Problema: $\mathbb{R}^{3}$ de la superficie está definida por $F(x,\ y,\ z)=k$ donde $k$ es una constante. Demostrar $ \frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-1 $.

No veo el primer paso para este problema, que es dejar a $x = h(y, z), y = g(x, z), x = h(y, z)$. Alguien puede aclarar esto por favor?

Entonces, cuando yo diferenciar $F(x,\ y,\ z)=c$, ¿cómo puedo averiguar cuál de estas funciones, en términos de los otros dos, a utilizar?

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Will Nelson Puntos 3966

Paulina, esta es una gran pregunta muy importante. Puede ser bastante difícil para aquellos que no han visto esto antes. Sin embargo, si a usted muy atentamente piensa y maestro de este problema, hay una buena posibilidad de que usted realmente entender los usos comunes de las derivadas parciales.

En el cálculo multivariable, cuando se trata de derivadas parciales, es absolutamente crucial que usted siempre sabe lo que está hablando y dónde (en qué punto) de evaluar las derivadas parciales. Una gran parte de conocer cuál es la función que usted está tratando con es saber qué es lo coordenadas, es decir, lo que "parámetros libres", se utiliza para definir la función. Por desgracia, la costumbre anotaciones a menudo ocultar estos detalles cruciales. Además, en este caso, es importante que usted recuerde que usted está en un 2-dimensiones de la superficie, una 2-variedad. La fórmula en este ejercicio no sería verdad (ni siquiera tiene sentido!) en otros contextos.

En el 2-dimensiones de la superficie en $\mathbb{R}^3$ en este problema, usted puede calcular cualquiera de $x$, $y$, y $z$ en términos de las otras dos. Asegúrese de que usted muy claramente a entender que. Un poco más precisamente, esto significa que hay funciones $f$, $g$, y $h$ que si $(x,y,z)$ es un punto en la superficie, entonces \begin{eqnarray} x &=& f(y,z) \\ y &=& g(x,z) \\ z &=& h(y,z). \end{eqnarray} Usted puede voltear hacia atrás y adelante entre los cuales dos de $x$, $y$, y $z$ que piensan como libremente diferentes coordenadas.

Voy a dado un ejemplo muy simple. Considere la ecuación $$ x^3 + y + z = 1. $$ De esta forma se define una curva de 2-dimensiones de la superficie en $\mathbb{R}^3$. Los puntos de $(1,0,0)$ $(-2,1,8)$ están en la superficie, sino $(3,3,3)$ no lo es. Ahora si sabe el $y$ $z$ coordenadas de un punto en la superficie, usted puede calcular el $x$ coordinar: $$ x = \sqrt[3]{1 - y - z}. $$ Por lo tanto, la función de $f$ para este ejemplo es de $(y,z) \mapsto \sqrt[3]{1 - y - z}$. Del mismo modo, hemos \begin{eqnarray} g(x,z) &=& 1 - x^3 - z \\ h(x,y) &=& 1 - x^3 - y. \end{eqnarray} para este ejemplo.

Ahora miren lo que está tratando de demostrar: $$ \frac{\partial x}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = -1. $$ La notación se hace esta fórmula look muy simple y de alguna manera casi obvia. Pero la simple notación es muy engañosa. Hay mucha más complejidad de la que se encuentra el ojo.

Empezar con el primer factor de la izquierda, $\frac{\partial x}{\partial y}$. Un camino más claro para escribir esta cantidad es $$ \left(\frac{\partial f(y,z)}{\partial y}\right)_z. $$ De nuevo, esto no es más que una notación diferente para $\frac{\partial x}{\partial y}$. No hay ningún nuevo contenido matemático aquí a todos, pero se hace lo que está sucediendo más clara.

El denominador de la derivada parcial ($y$) y el subíndice ($z$) dicen que sus coordenadas. Las coordenadas para la esta derivada parcial se $(y,z)$. El numerador ($x$) representa la función que están diferenciando. Y esta función tiene que ser una función de las coordenadas $(y,z)$. Así, en la expresión $\frac{\partial x}{\partial y}$, $x$ es no una coordenada, es una función de $(y,z)$. Aquí, $x$ significa que el "valor de la $x$ coordenadas del punto en la superficie de la con $y$ $z$ coordenadas". En otras palabras, en la expresión $\frac{\partial x}{\partial y}$, $x$ representa, en realidad, la función de $(y,z)\mapsto f(y,z)$.

El subíndice $z$ y el denominador $y$ también indicará la dirección en el espacio de coordenadas a lo largo de la cual la derivada de la toma. Aquí, se mantenga $z$ constantes y varían $y$. Esto es importante. Siempre ser claro en lo que se mantuvo constante (de manera más general, la dirección a lo largo de la cual están diferenciando).

Así que usted está realmente tratando de probar la siguiente fórmula: $$ \left(\frac{\partial f(y,z)}{\partial y}\right)_z \left(\frac{\partial g(x,z)}{\partial z}\right)_x \left(\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}\right)_y = -1. $$ La mirada en un segundo. Hay tres diferentes espacios de coordenadas $(y,z)$, $(x,z)$ y $(x,y)$. Cada uno de $x$,$y$, y $z$ es una coordenada en dos de estas derivadas parciales de una función de las otras coordenadas en el tercero.

Ahora, a probar! Suponga $F(x,y,z) = c$ define implícitamente a nuestros 2-colector. Considere la posibilidad de $(y,z)$ nuestras coordenadas, por lo $x=f(y,z)$ para cualquier punto en el colector. Por lo tanto, $$ F(f(y,z), y, z) = c. $$ El lado izquierdo es una función de sólo$y$$z$. Ahora calcular la derivada parcial con respecto a la coordenada $y$ participación $z$ constante. Utilizamos la regla de la cadena para obtener \begin{eqnarray} \left(\frac{\partial F(f(y,z), y, z)}{\partial y} \right)_z &=& \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial y}. \end{eqnarray} Aquí en el lado derecho, por razones de brevedad, me he vuelto a la costumbre muy breve anotación, que suprime la función exacta de los parámetros y en derivadas parciales subíndices.

Ahora ya $F$ es constante en la superficie, esta derivada parcial debe desaparecer: $$ \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial y} = 0, $$ y $$ ( * )\ \ \ \ frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{\partial F}{\partial y}. $$

Ahora repita este procedimiento con las coordenadas $x,z$$y=g(x,z)$. Calcular la derivada parcial de $F$ con respecto al $z$ (manteniendo $x$ constante). El cálculo es exactamente el mismo que el anterior, sólo que con los índices que se intercambian. Obtenemos $$ ( * )\ \ \ \ frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial z} = - \frac{\partial F}{\partial z}. $$

Repita el procedimiento una última vez con coordenadas $x$$y$$z=h(x,y)$. Diferenciar con respecto a $x$ participación $y$ constante. Se obtiene $$ ( * )\ \ \ \ frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\partial F}{\partial x}. $$

Ahora multiplique la izquierda lados correspondientes de las tres ecuaciones marcado $(*)$ y se obtiene $$ \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z} = - \frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial h}{\partial x}. $$ Mientras $\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial z} \ne 0$, que es uno de esos molestos supuestos simplificadores, tenemos $$ \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial z} \frac{\partial h}{\partial x} = -1. $$

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